Baza, wspólny wektor w przestrzeni liniowej

[przonak007]

Nie wiem czy dobrze zrobiłem zadanie, a mam mieć tego kolokwium.
1. Sprawdzić że \(\displaystyle{ U=\{f \in \RR_{2} [x] = f(1)=f'(0)\}}\) jest przestrzenią liniową, stopnia \(\displaystyle{ (\RR_{2}[x])}\)
2. Wyznaczyć bazę w U
3. Wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ f(x)= 4a^{2}+3x-8}\)

Mi wychodzi coś takiego
1. Wyznaczamy nowe \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) czyli wychodzi:
\(\displaystyle{ f(1)=f'(0) \text{ i } g(1)=g'(0)}\)
i dodajemy dwie rzeczywiste liczby np: \(\displaystyle{ \alpha \text{ i } \beta}\)
\(\displaystyle{ \alpha f + \beta g (1) = (\alpha f + \beta g)'(0)=}\)
\(\displaystyle{ =(\alpha f)(1) + (\beta g)(1) = \alpha f' (0)+\beta g' (0) = (\alpha f' + \beta g') (0)= (\alpha f + \beta g)' (0)}\).
Wychodzi że się zgadza.

2. Wyznaczamy bazę czyli z \(\displaystyle{ \RR_{2}[x]}\) wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c= f'(x) = 2x+b}\)
czyli \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) czyli \(\displaystyle{ a+c=b}\) czyli \(\displaystyle{ c=-a}\) ? ( dobrze myśle? )
jeśli tak to \(\displaystyle{ U=ax^{2}+bx-a}\)
Teraz tworze tabelkę w pamięci żeby móc coś podstawić zamiast a i b. Biore 2 wektory bo jest podane \(\displaystyle{ R_{2}}\) gdyby zamias 2 było 1 to stworzyłbym jeden wektor.
\(\displaystyle{ a=1, b=0 \ W_1=ax^{2}+bx-a=x^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ a=0, b=1 \ W_2=ax^{2}+bx-a=x}\)
Sprawdzamy czy:
1. \(\displaystyle{ W_1}\) i \(\displaystyle{ W_2}\) są liniowo niezależne
2.\(\displaystyle{ U= \Lin \left[ W_1 , W_2\right]}\)

odp.1.
Bierzemy dwa skalary \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha_1 W_1+ \alpha_2+ W_2 = 0}\). Czyli sprawdzamy czy \(\displaystyle{ \alpha_1 = 0}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2=0}\) wychodzi mi
\(\displaystyle{ \alpha 1(x^{2}-1) + \alpha 2 x = 0}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha 1 x^{2} - \alpha 1+ \alpha 2 = \alpha 1=o, -\alpha 1 , \alpha 2 = 0}\)

odp.2.
\(\displaystyle{ x^{2} = \alpha 1 (x^{2}-1) + \alpha 2x}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha 1=a, \alpha 2=b}\) czyli wychodzi \(\displaystyle{ a(x^{2})+bx}\)
3. Musimy dowieść że \(\displaystyle{ \alpha 1}\) i \(\displaystyle{ \alpha 2}\) w \(\displaystyle{ f(x)=4a^{2}+3x-8}\) można zapisać w taki sposób \(\displaystyle{ \alpha 1 (x^{2}-1)+ \alpha 2x}\) czyli \(\displaystyle{ 4a^{2}+3x-8 = \alpha 1 x^{2}+ \alpha 2x- \alpha 1}\)czyli
\(\displaystyle{ \alpha 1 = 4, \alpha 2=3, -\alpha 1=-8}\) Czy to dobre rozwiązanie ? . Proszę o odpowiedź.