Przestrzeń liniowa

[Renfri19]

Witam

Proszę o pomoc z trzema zadaniami z przestrzeni liniowej. Byłabym wdzięczna, gdybyście odpowiedzi zawarli wraz z tłumaczeniem jak do tego doszliście gdyż również chciałabym zrozumieć to zagadnienie a nie przepisać wyniki na "pałę"

Zad.1
Podane zbiory wektorów uzupełnić do baz wskazanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ \vec{a} = (2,1,0)}\)
\(\displaystyle{ \vec{b} = (1,1,1)}\)

Zad.2
Wyznaczyć generatory podanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ V=\{\left(2r+s+t, t-u, r+3s+u, s+u, t-u\right): r,s,t,u \in \RR\}}\)

Zad.3
Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych.
\(\displaystyle{ V=\{\left(x+y+z, x-y, x-z, y-z\right): x,y,z \in \RR\}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Kacperdev]

Z1

Wiemy, że baza to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest trójwymiarowa i składa się z trzech wektorów (zawsze można wskazać bazę kanoniczną). Zatem każda baza tej przestrzeni będzie się składać z trzech wektorów. Dane wektory \(\displaystyle{ a,b}\) są liniowo niezależne, więc wystarczy dorzucić do puli jeszcze jeden wektor liniowo niezależny. A to proste. weź np. wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) i sprawdź kombinację liniową:

\(\displaystyle{ a\left( 2,1,0\right) + b\left( 1,1,1\right) + c\left(0,1,0 \right) = 0}\)

Jeżeli jedyne \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające równość to: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to wtedy ten dodany wektor uzupełnia nam zbiór do bazy.

Z2 i Z3

Zacznij od rozpisania wektorów z przestrzeni na kombinację liniową.

[Renfri19]

Z1

Wiemy, że baza to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^{3}}\) jest trójwymiarowa i składa się z trzech wektorów (zawsze można wskazać bazę kanoniczną). Zatem każda baza tej przestrzeni będzie się składać z trzech wektorów. Dane wektory \(\displaystyle{ a,b}\) są liniowo niezależne, więc wystarczy dorzucić do puli jeszcze jeden wektor liniowo niezależny. A to proste. weź np. wektor \(\displaystyle{ \left( 0,1,0\right)}\) i sprawdź kombinację liniową:

\(\displaystyle{ a\left( 2,1,0\right) + b\left( 1,1,1\right) + c\left(0,1,0 \right) = 0}\)

Jeżeli jedyne \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniające równość to: \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to wtedy ten dodany wektor uzupełnia nam zbiór do bazy.

Z2 i Z3

Zacznij od rozpisania wektorów z przestrzeni na kombinację liniową.

No tak, teraz to się wydaje całkiem oczywiste

Apropo drugiego, coś ruszyłam i wyszły mi takie generatory:
\(\displaystyle{ (2,0,1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,0,3,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (-1,1,0,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (0,-1,1,1,-1)}\)
Tak powinno być?

[Kacperdev]

Tak, o to chodzi.

[Renfri19]

Tak, o to chodzi.

Nie rozumiem tylko czym w takim razie różni się wyznaczanie bazy od wyznaczania generatorów.

[Kacperdev]

Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.

[Renfri19]

Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.

Czy w takim razie w 3 bazą będą wektory:
\(\displaystyle{ (1,1,1,0)}\)
\(\displaystyle{ (1,-1,0,1)}\)
\(\displaystyle{ (1,0,-1,-1)}\)

A ich wymiar wynosić będzie:
\(\displaystyle{ \dim V=3}\)
bo są 3 generatory?

[Kacperdev]

A sprawdziłaś liniową niezależność tych wektorów? W tym wypadku to prawda. Te trzy wektory generujące przestrzeń są liniowo niezależne, zatem tworzą bazę.

Wymiar przestrzeni zależy od liczby wektorów bazowych a nie od zbioru generatorów.

Ale tak, \(\displaystyle{ \dim V =3}\)

[a4karo]

[quote="Kacperdev]Zbiór generatorów nie musi być liniowo niezależny. Baza już musi. Popatrz na def. Zbiór generatorów to MINIMALNY zbiór generujący przestrzeń. Czasami coś można wyrzucić ze zbioru generatorów i wciąz pozostanie zbiorem generatorów.[/quote]

Skoro jest minimalny, to chyba jednak musi być liniowo niezależny

[Renfri19]

A sprawdziłaś liniową niezależność tych wektorów? W tym wypadku to prawda. Te trzy wektory generujące przestrzeń są liniowo niezależne, zatem tworzą bazę.

Wymiar przestrzeni zależy od liczby wektorów bazowych a nie od zbioru generatorów.

Ale tak, \(\displaystyle{ \dim V =3}\)

Czyli jeśli dwa z trzech wektorów byłyby niezależne liniowo a jeden nie, to ten jeden wyrzucamy i te 2 tworzą bazę? A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

[a4karo]

Każdy ukłąd wektorów liniowo niezależnych można uzupełnić do bazy

[Kacperdev]

A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

Pomyśl przez chwilę. To niemożliwe, bo każdy niezerowy wektor jest niezależny ze sobą:

Niech \(\displaystyle{ v \neq 0}\), wtedy: \(\displaystyle{ av=0 \Leftrightarrow a=0}\)

Poza tym każda przestrzeń liniowa ma bazę. (pewnik wyboru)

[Renfri19]

A co jeśli te wektory wgl nie byłyby liniowo niezależne w żadnym z przypadków? Nie mamy bazy?

Pomyśl przez chwilę. To niemożliwe, bo każdy niezerowy wektor jest niezależny ze sobą:

Niech \(\displaystyle{ v \neq 0}\), wtedy: \(\displaystyle{ av=0 \Leftrightarrow a=0}\)

Poza tym każda przestrzeń liniowa ma bazę. (pewnik wyboru)

Dziękuję serdecznie za pomoc

[zjm2014]

Czy mógłby ktoś rozpisać nieco zadanie 2?

Wiem że pewnie to łatwe ale nie wychodzi mi wynik taki jak koleżance.