Podprzestrzeń przestrzeni liniowej.

[Piotrek172]

Witam, mam takie zadanie. Sprawdzić czy podane zbiory są przestrzenią podprzestrzeni liniowej. I nie bardzo wiem jak sie za to zabrać:

\(\displaystyle{ V = R^{3}}\)

\(\displaystyle{ W = \left\{ \vec{x} = ( x_{1},x _{2} ) : x_{1} \ge 0, x_{2} \ge 0 \right\}}\)

Czyli tak z warunku wynika ze dla każdej liczby rzeczywistej, suma iloczynów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych i wektorów dalej należy zbioru. Więc jeżeli te wektory bym pomnożył przez 2 liczby ujemne wiec warunek nie jest spełniony i wektory nie są podprzestrzenią?
PS: Mógłby ktoś mi podać schemat w jaki sposób to sprawdzić przy trudniejszych przykładach?

[lukasz1804]

Witaj,
schemat jest dokładnie taki jak podałeś (zawsze taki sam): sprawdzić, czy kombinacja liniowa dwóch dowolnych wektorów z rozważanego zbioru ze współczynnikami z danego ciała jest wektorem należącym do tego zbioru.

[a4karo]

Tylko uważaj na język: co oznacza sformułowanie

i wektory nie są podprzestrzenią?

Wektory mogą być co najwyżej elementami podprzestrzeni.
Im bardziej posługujesz się skrótami myślowymi, tym precyzyjniejszego języka powinieneś używać.

Więc jeżeli te wektory bym pomnożył przez 2 liczby ujemne wiec warunek nie jest spełniony

to też nie za bobrze brzmi po polsku.

Może się czepiam, ale dbałość o precyzję języka jest istotna. Nie macie pojęcia jakie potworności potrafią wypisywać studenci mając nadzieje, że zasada "wątpliwości na korzyść oskarżonego" działa. W matematyce niestety nie.

[Piotrek172]

Co jeżeli miałbym taki przykład :
\(\displaystyle{ W = \left\{ (2x - y,y+z) \in R^{2} : x,y,z \in R \right\} V = R^{2}}\)

Sume iloczynów,która musi być spełniona aby zbiór był podprzestrzenią i co dalej powinienem z tym zrobić. Bo ani tutaj podstawić ani coś obliczyć?

[a4karo]

Czemu nie. Mesz sprawdzić, żę jeżeli dwa wektory są takiej postaci, to ich suma też, oraz iloczyn przez stała też

Wsk

\(\displaystyle{ (a,b)\in W \Leftrightarrow \exists x,y,z\in \RR: a=2x-y, b=y+z}\)
Jestes w stanie znależć \(\displaystyle{ x',y',z'}\), które generują \(\displaystyle{ (\alpha a, \alpha b)}\)?

[Piotrek172]

Ja to zrobiłem w taki sposób :
\(\displaystyle{ \vec{u} = (2x_{1} - y_{1}, y_{1} + z_{1} )}\)
\(\displaystyle{ \vec{w} = (2x_{2} - y_{2}, y_{2} + z_{2} )}\)

\(\displaystyle{ \alpha_{1} \vec{u} + \alpha_{2} \vec{w} =...}\)
Wymnożyłem dodałem i stworzyłem jeden wektor. No i sie zatrzymałem.

[a4karo]

To skoro tak nie poszo, to spróbuj prok po kroku: najpierw to o czym pisałem w poscie, potem addytywność (bez współczynników)