Wartości własne

[ponurasek]

Znajdź wartości oraz odpowiadające im podprzestrzenie własne endomorfizmu.
\(\displaystyle{ f:R^{3},}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(-x+y-z,-x+y+z,-2x+2y)}\)

Wpierw zapisuję macierz endomorfizmu, i charakterystyczny dla niego i mam coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1-\lambda&1&-1\\-1&1-\lambda&1\\-2&2&-\lambda\end{bmatrix}}\).

Następnie obliczam wyznacznik macierzy, porównuję do zera, i pierwiastki tego wielomianu to będą te wartości?

[miodzio1988]

zgadza sie

[ponurasek]

No i dobra, wyszło mi że \(\displaystyle{ \lambda = 3, \lambda = 0, \lambda = 1}\). I to wartości własne, a co z tymi podprzestrzeniami? Mam rozpisać je jakoś w stylu niezależnych wektorów?

[miodzio1988]

Masz rozwiazac teraz uklad jednorodny z tymi wartosciami wlasnie, tzn trzy uklady dokladnie

[ponurasek]

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x+y-z=\lambda_{1}\\-x+y+z=\lambda_{1}\\-2x+2z=\lambda_{1} \end{array}}\)

Coś takiego? I powtórzyć dla \(\displaystyle{ \lambda_{2}}\) i \(\displaystyle{ \lambda_{3}}\)?

[miodzio1988]

Nie. Wstawiasz wartosci wlasne np \(\displaystyle{ \lambda = 3}\) i rozwiazujesz:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x-\lambda+y-z=0\\-x+y-\lambda+z=0\\-2x+2z-\lambda=0 \end{array}}\)

[SidCom]

Następnie obliczam wyznacznik macierzy, porównuję do zera, i pierwiastki tego wielomianu to będą te wartości?

No i to po prostu zrób.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \lambda_1=0 \\ \lambda_2=2 \\ \lambda_3=-2 \\}\)

[ponurasek]

Nie. Wstawiasz wartosci wlasne np \(\displaystyle{ \lambda = 3}\) i rozwiazujesz:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} -x-\lambda+y-z=0\\-x+y-\lambda+z=0\\-2x+2z-\lambda=0 \end{array}}\)

Czyli w sumie by nie wyszło na to samo co napisałem wcześniej, po przerzuceniu lambd na drugą stronę równania?

[miodzio1988]

W sumie tak

[ponurasek]

No i dobra ostatnie pytanko, po podstawieniu jak obliczył SidCom, np \(\displaystyle{ 0}\) ( musiałem walnąć się w obliczeniach),
\(\displaystyle{ x,y,z}\) wyszły \(\displaystyle{ 0}\), i jak to zapisać? Jako wektor?

[SidCom]

każdej wartości własnej odpowiada wektor własny...
poszukaj na forum jest tego dużo, przykład

[ponurasek]

No tak, ale jak to zapisać? Jakbyście mogli pokazać tylko ten przykład z zerami, dalej będę wiedział o co chodzi.

Tzn nie wiem zbyt o co chodzi z tymi podprzestrzeniami endomorfizmu. Wiem że to przekształcenie \(\displaystyle{ V\rightarrow V}\), ale jakoś nie mogę tego ugryźć w zadaniu.

[SidCom]

nazwijmy macierz tego odwzorowania \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} -1&1&-1\\-1&1&1\\-2&2&0 \end{bmatrix}}\)

i dla każdej wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\) rozwiązujemy równanie:

\(\displaystyle{ A \cdot \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}= \lambda \cdot \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}\)

gdzie oczywiście: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix}}\) to wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda}\)

Ukryta treść:    

powinno Ci wyjść \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1\\-1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0\\-1\\-1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} -1\\0\\-1 \end{bmatrix}}\)

[ponurasek]

Aaaa to o to chodzi, dzięki
A powiedziałbyś, albo naprowadził na to samo polecenie, a z taką macierzą?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&3&0&0\\1&0&3&0\\0&1&0&1\end{bmatrix}}\)

Wielomian własny wyszedł \(\displaystyle{ (3-\lambda )^{2}(1-\lambda )^{2}
=0}\), więc pierwiastki to tylko \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 1}\), a macierz jest \(\displaystyle{ 4x4}\). Do kolosa trochę czasu jeszcze jest więc zaczynam przyswajać to wcześniej, bo nie siedzę coś w temacie.

[SidCom]

musisz poczytać o krotnościach wartości własnych... tu masz krotności \(\displaystyle{ 2}\) więc wektor własny dla takiej wartości generuje podprzestrzeń 2-wymiarową. itd. w poprzednim zadaniu mieliśmy podprzestrzenie 1 - wymiarowe. a propos nie zwróciłeś uwagi, że odwzorowanie jest osobliwe...sprawdź, że \(\displaystyle{ \det A=0}\)