1.Które z układów wektorów tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ C \left( R,R \right)}\):
a)\(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{2}=t, x_{3}=t^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x_{1}=\cos t , x_{2}=\cos 2t, x_{3}=\cos 3t, .....}\)
Liniową niezależność sprawdziłem i oba układy są liniowo niezależne ale nie potrafię sprawdzić czy generują przestrzeń.
2. Sprawdź czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny
\(\displaystyle{ x_{1}=e^{t}, x_{2}=e^{t+1}, x_{3}=e^{t+2}, ......}\).
Baza przestrzeni liniowej
Baza przestrzeni liniowej
Ostatnio zmieniony 12 sty 2015, o 19:56 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Baza przestrzeni liniowej
1.
a) Nie tworzą bazy - sprawdź, że nie generują np funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^4}\)
b) Także nie tworzą bazy - sprawdź, że nie wygenerujesz funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t}\)
2. W czym tu problem? Robisz podobnie jak poprzednie.
a) Nie tworzą bazy - sprawdź, że nie generują np funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^4}\)
b) Także nie tworzą bazy - sprawdź, że nie wygenerujesz funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t}\)
2. W czym tu problem? Robisz podobnie jak poprzednie.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Baza przestrzeni liniowej
Hint - gdyby dało się przedstawić funkcję \(\displaystyle{ t^4}\), to mielibyśmy, że
\(\displaystyle{ t^4 = \alpha \cdot 1 + \beta t + \gamma t^2}\)
Dla pewnych stałych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) i wszystkich \(\displaystyle{ t}\) - co by to oznaczało?
\(\displaystyle{ t^4 = \alpha \cdot 1 + \beta t + \gamma t^2}\)
Dla pewnych stałych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) i wszystkich \(\displaystyle{ t}\) - co by to oznaczało?
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Baza przestrzeni liniowej
Te układy nie generują przestrzeni, bo są przeliczalne a każda baza Hamela \(\displaystyle{ C(\mathbb{R},\mathbb{R})}\) jest nieprzeliczalna. Rzeczywiście, dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) rozważ funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f_t}\), która przyjmuje wartość 1 na przedziale \(\displaystyle{ [1,infty)}\) i cokolwiek innego poza tym przedziałem (ale tak by była ciągła). Wówczas układkimha pisze:1.Które z układów wektorów tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ C(R,R)}\):
a)\(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{2}=t, x_{3}=t^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x_{1}=cost , x_{2}=cos2t, x_{3}=cos3t, .....}\)
Liniową niezależność sprawdziłem i oba układy są liniowo niezależne ale nie potrafię sprawdzić czy generują przestrzeń.
\(\displaystyle{ \{f_t\colon t\in\mathbb{R}\}}\)
jest liniowo niezależny i nieprzeliczalny, może zatem zostać rozszerzony do bazy. Każde dwie bazy są jednak równoliczne, a więc każda baza tej przestrzeni ma moc continuum.
Piszę tutaj oczywiście o bazach w sensie algebry liniowej, nie o bazach Schaudera bo ta przestrzeń nie ma żadnej kanonicznej struktury przestrzeni Banacha.