Baza przestrzeni liniowej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kimha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 20 sie 2009, o 11:53
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: kimha »

1.Które z układów wektorów tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ C \left( R,R \right)}\):
a)\(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{2}=t, x_{3}=t^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x_{1}=\cos t , x_{2}=\cos 2t, x_{3}=\cos 3t, .....}\)
Liniową niezależność sprawdziłem i oba układy są liniowo niezależne ale nie potrafię sprawdzić czy generują przestrzeń.
2. Sprawdź czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny
\(\displaystyle{ x_{1}=e^{t}, x_{2}=e^{t+1}, x_{3}=e^{t+2}, ......}\).
Ostatnio zmieniony 12 sty 2015, o 19:56 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
miodzio1988

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: miodzio1988 »

378676.htm#p5300644
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: bartek118 »

1.
a) Nie tworzą bazy - sprawdź, że nie generują np funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t^4}\)
b) Także nie tworzą bazy - sprawdź, że nie wygenerujesz funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t}\)

2. W czym tu problem? Robisz podobnie jak poprzednie.
kimha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 20 sie 2009, o 11:53
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: kimha »

Mógłbyś mi rozpisać jeden przykład z zadania 1. Bardzo proszę.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: bartek118 »

Hint - gdyby dało się przedstawić funkcję \(\displaystyle{ t^4}\), to mielibyśmy, że
\(\displaystyle{ t^4 = \alpha \cdot 1 + \beta t + \gamma t^2}\)
Dla pewnych stałych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) i wszystkich \(\displaystyle{ t}\) - co by to oznaczało?
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Baza przestrzeni liniowej

Post autor: Spektralny »

kimha pisze:1.Które z układów wektorów tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ C(R,R)}\):
a)\(\displaystyle{ x_{1}=1, x_{2}=t, x_{3}=t^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ x_{1}=cost , x_{2}=cos2t, x_{3}=cos3t, .....}\)
Liniową niezależność sprawdziłem i oba układy są liniowo niezależne ale nie potrafię sprawdzić czy generują przestrzeń.
Te układy nie generują przestrzeni, bo są przeliczalne a każda baza Hamela \(\displaystyle{ C(\mathbb{R},\mathbb{R})}\) jest nieprzeliczalna. Rzeczywiście, dla każdego \(\displaystyle{ t\in \mathbb{R}}\) rozważ funkcję ciągłą \(\displaystyle{ f_t}\), która przyjmuje wartość 1 na przedziale \(\displaystyle{ [1,infty)}\) i cokolwiek innego poza tym przedziałem (ale tak by była ciągła). Wówczas układ

\(\displaystyle{ \{f_t\colon t\in\mathbb{R}\}}\)

jest liniowo niezależny i nieprzeliczalny, może zatem zostać rozszerzony do bazy. Każde dwie bazy są jednak równoliczne, a więc każda baza tej przestrzeni ma moc continuum.

Piszę tutaj oczywiście o bazach w sensie algebry liniowej, nie o bazach Schaudera bo ta przestrzeń nie ma żadnej kanonicznej struktury przestrzeni Banacha.
ODPOWIEDZ