Algebra liniowa - pytania teoretyczne

[PAK]

Witam ,chciałbym zrozumieć trochę ten dział ,co mogłoby mi pomóc w zadaniach.

1.Jaki jest warunek na równość dwóch podprzestrzeni liniowych ? Bo chyba nie tylko równość ich wymiarów.

2.Mamy przykładowo zadanie :
Znajdź układ równań określający daną podprzestrzeń ,przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) ,\(\displaystyle{ lin([5,-1,3,1],[3,1,1,1])}\).
Ja rozumiem przestrzeń (i tym samym podprzestrzeń) jako zbiór pewnych wektorów ,które je generują (+skalary z ciała).Więc :
\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]=\alpha [5,-1,3,1]+\beta [3,1,1,1]}\) ,gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{K}}\).No wyznaczyłbym \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,x_4}\) w zależności od \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\).Ale w rozwiązaniu są pominięte te skalary ,tak jakby oba były równe 1.Dlaczego ?

3.Co się rozumie przez zapis przestrzeni wektorowej :\(\displaystyle{ C_{(-\infty,\infty)}}\) ?

4.Nie rozumiem o co chodzi w macierzach przekształcenia liniowego ,jak powstają i dlaczego.Jak to sobie w ogóle wyobrazić ? Mamy pewne ciało i pewne przekształcenie z jednej przestrzeni wektorowej do drugiej.Robię przekształcenie liniowe.I teraz trudno mi sobie wyobrazić czym właściwe jest macierz przekształcenia liniowego.Jak to się ma do samego przekształcenia.

[a4karo]

POczytaj sobie o bazie przestrzeni liniowej. Wtedy zrozumiesz zadania 1,2,4.

w 3)chodzi prawdopodobnie o funkcje ciągłe na prostej rzeczywistej

[PAK]

No właśnie problem w tym że czytałem i nie rozumiem tych punktów.Baza to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych ,generujący każdy inny wektor z danej przestrzeni.Nadal to nie rozwiązuje problemu.

[wiedzmac]

Co do punktu pierwszego. Co masz na myśli mówiąc równość przestrzeni liniowych?

No bo jeśli rzeczywiście coś ma być równe to musi być określone na tym samym zbiorze, prawda?
Z drugiej strony może ci chodzić o izomorficzność dwóch przestrzeni.

[a4karo]

POczytaj sobie o bazie przestrzeni liniowej. Wtedy zrozumiesz zadania 1,2,4.

w 3)chodzi prawdopodobnie o funkcje ciągłe na prostej rzeczywistej

[PAK]

wiedzmac, o pierwszy przypadek.
a4karo, po co drugi raz ten sam komentarz ?

[a4karo]

PO nic... nie zauważyłęm, że się zapisał. Przepraszam

[PAK]

Ok, nic się nie stało.A jak z moimi pytaniami ? Może najpierw 1 i 2, bo w 4. chciałbym coś więcej napisać.

[akermann1]

1)

Weźmy podprzestrzeń \(\displaystyle{ U}\) i podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\)

\(\displaystyle{ a) dimU=dimW}\)
\(\displaystyle{ b)U \subset W}\)

Przy natruralnym założeniu, że \(\displaystyle{ W}\) jest oczywiście skończonego wymiaru możemy stwierdzić \(\displaystyle{ U=W}\).-- 11 sty 2015, o 20:50 --\(\displaystyle{ lin([5,-1,3,1]^{\mathbb{T}},[3,1,1,1]^{\mathbb{T}})}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&3\\-1&1\\3&1\\1&1\end{array}\right]}\)

Tylko trzeba zauważyć, że tutaj nie ma liniowejniezależności bo

\(\displaystyle{ \left[ 3,1\right] +2 \cdot \left[1,1 \right]=\left[ 5,3\right]}\) o ile się gdzieś nie pomyliłem.

[PAK]

1)
\(\displaystyle{ lin([5,-1,3,1]^{\mathbb{T}},[3,1,1,1]^{\mathbb{T}})}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}5&3\\-1&1\\3&1\\1&1\end{array}\right]}\)

Tylko trzeba zauważyć, że tutaj nie ma liniowejniezależności bo

\(\displaystyle{ \left[ 3,1\right] +2 \cdot \left[1,1 \right]=\left[ 5,3\right]}\) o ile się gdzieś nie pomyliłem.

Ale to nadal nie rozwiązuje mojego pytania.Dlaczego pomija się te skalary:alfa,beta ?

[akermann1]

Bo to co podsałeś to są skalary jeżeli porównasz je ta jak napisałeś do wektora \(\displaystyle{ \left[ 0,0,0,0\right]}\) to sprawdzasz jedynie czy są one liniowo niezależne. Możliwe, że to błąd w odpowiedzi jest ponieważ są one dosyć istone.

[PAK]

1.

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=W0aMqUDH2m0

4.Macierz przekształcenia liniowego :


[url]http://edu.pjwstk.edu.pl/wyklady/alg/scb/index77.html[/url]

W w pierwszym linku mamy definicję macierzy przekształcenia.W drugim konstrukcję macierzy przekształcenia.Nie rozumiem jak to się ma do siebie.W Pierwszym przekształcamy wektory bazowe przez przekształcenie liniowe ,a następnie zapisujemy jako kombinację liniową przy pomocy wektorów z bazy drugiej.I te skalary co tam wyjdą tworzą macierz przekształcenia liniowego.W drugim linku natomiast ,przekształcamy wektory bazowe przez przekształcenie liniowe ,wpisujemy do macierzy i mnożymy potem przez macierz ze współrzędnymi jakiegoś wektora z bazy pierwszej i mamy jego współrzędne w bazie drugiej.

Wg mnie to nie jest to samo.