Jak uzasadnić, że wektory nie generują przestrzeni?

[inusia146]

Mam dwa wektory: (1,2,0), (1,1,2). Są liniowo niezależne.
\(\displaystyle{ \left( x,y,z\right) = \alpha \left( 1,2,0\right) + \beta \left( 1,1,2\right) \\
\begin{cases}
x = \alpha + \beta \\
y = 2 \alpha + \beta \\
z = 2 \beta \end{cases} \\
\begin{cases}
\beta = \alpha - x \\
y = \alpha +x \\
z = 2x - 2 \alpha \end{cases} \\
\begin{cases}
\alpha = y - x \\
\beta = 2x - y \\
z = 4x-2y \end{cases}}\)
Jak teraz uzasadnić, że te wektory nie generują \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\) ?
Czy ewentualnie na kolokwium przejdzie, jeśli powiem, że dwa wektory nie mogą być bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\), ponieważ wymiar jest równy 3, zatem baza musi składać się z trzech wektorów?

[Igor V]

Czy ewentualnie na kolokwium przejdzie, jeśli powiem, że dwa wektory nie mogą być bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{3}}\), ponieważ wymiar jest równy 3, zatem baza musi składać się z trzech wektorów?

Można,ale ja bym się dopytał,bo może będą chcieli abyś nie powoływała się na to twierdzenie tylko robiła to jak wyżej.

[inusia146]

Bardzo dziękuję

[wiedzmac]

Można pokazać, że za pomocą kombinacji liniowej tych dwóch wymienionych wektorów nie zapiszesz wektora \(\displaystyle{ \left( 0, 0, 1\right) ^T \in \mathbb{R}^3}\). Stąd wynika, że te dwa wymienione wektory nie rozpinają \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\).