Obliczenie wyznaczników

[zolax]

Jak rozwiązać te zadania:
1) Obliczyć wyznacznik korzystając z zależności
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}}\)

2) Obliczyć
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}}\)

b)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2&7&-1&3&2\\0&0&1&0&1\\-2&0&7&0&2\\-3&-2&4&5&3\\1&0&0&0&1\end{vmatrix}}\)

Tutaj tworzę nowe \(\displaystyle{ k^{*} _{5} = k_{5} - k_{3}}\) ale wynik źle mi wychodzi, prosze o pomoc podpowiedzi jak rozwiązać te przykłady.

[Poszukujaca]

O jakie zależności chodzi w poleceniu.

Do obliczania wyznaczników macierzy dużych rozmiarów przydaje się tw. Laplace'`a. Trzeba wyzerowac kilka elementów w danej macierzy za pomocą przekształceń elementarnych, a następnie skorzystać z tego twierdzenia.

[zolax]

W poleceniu mam korzystając z zależności występujących w tym wyznaczniku, w tym 2 które elementy można wyzerować oraz w tym 3 czy dobrze zacząłem zadanie odejmując kolumny?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}=}\)
Tu od pozostałych wierszy odejmę wiersz pierwszy
\(\displaystyle{ =\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\4&4&4&4\\8&8&8&8\\12&12&12&12\end{vmatrix}=}\)
Teraz od czwartego odejmuję 3 wiersze drugie otrzymując
\(\displaystyle{ =\begin{vmatrix} 1&2&3&4\\4&4&4&4\\8&8&8&8\\0&0&0&0\end{vmatrix} =0}\)

[akermann1]

Do obliczeń wyznacznika macieczy \(\displaystyle{ 4x4}\) myślę, że można spróbować sprowadzić taką macierz do postaci macierzy górnotrójkątnej (eliminacja Gaussa) a co za tym idzie wtedy \(\displaystyle{ det}\) takiej macierzy będzie równy iloczynowi elementów na przekątnej.

[zolax]

kerajs a tam nie powinno być, że od \(\displaystyle{ 3}\) odejmujesz \(\displaystyle{ 2*w_2}\) bo wtedy się zerują \(\displaystyle{ 12-8}\) to nie \(\displaystyle{ 0}\) chyba, że się mylę to mnie popraw.

[akermann1]

Przykład:
ad2)

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&2&6\\0&0&0&6\end{vmatrix}}\)

zatem \(\displaystyle{ det=1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6=12}\)

[zolax]

Przykład drugi rozwiązany, dzięki akermann1 i kerajs a co z tym trzecim i pierwszym jakieś pomysły?

[akermann1]

Kerajs policzył pierwszy chyba

[zolax]

Tak Twoja metoda trochę trudniejsza ;P zerknąłbys na ad.3 i zobaczył czy dobrze kombinuję z odjęciem kolumn?

[akermann1]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&0&0&0&1\\0&7&-1&3&0\\0&0&49&0&28\\0&0&0&287&190\\0&0&0&0&123\end{vmatrix}}\)

wyszło mi , że \(\displaystyle{ det=123}\)


Eliminację Gaussa stosuję głównie na wierszach a nie na kolumnach oraz zastosowałem tutaj zamianę wierszy jak widać np: ostatni z pierwszym zamieniłem w celu łatwiejszych obliczeń.

PS. Do macierzy stopnia \(\displaystyle{ \ge 4}\) najszybszym sposobem jest oczywiście metoda eliminacji Gaussa.

Pozdrawiam.

[zolax]

Dzięki wielkie, mógłbyś rozpisać jak ten przykład i zastosowanie tej metody bo nie miałem jeszcze tego na zajęciach, jeszcze raz dziękuję.