Wyznaczenie jądra i obrazu.

[akermann1]

Witam.

Mam następujące zadanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+3y+2z,2x+y+z+t,3x-y+2z)}\) \(\displaystyle{ f : R^{4} \to R^{3}}\)

\(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ Imf=\left\{ x,y,z,t \in \mathbb{R} : x(1,2,3),y(3,1,-1),z(2,1,0),t(0,1,0)\right\}}\)

Z racji tego, że te wektory są liniowo niezależne ponieważ \(\displaystyle{ rz=3}\) zatem

\(\displaystyle{ Imf=lin\left\{ (1,2,3),(3,1,-1),(2,1,0),(0,1,0)\right\}}\)

\(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ Kerf=\left\{ x+3y+2z,2x+y+z+t,3x-y+2z\right\}=(0,0,0)}\)

Po rozwiązaniu tego równania:

\(\displaystyle{ Kerf=( -\frac{2}{5}z, \frac{4}{5}z,z,-z)}\) takiej postaci wektory tworzą jądro.

Proszę o sprawdzenie

[sebnorth]

odwzorowanie jest z \(\displaystyle{ \RR ^{4}}\) zatem elementy \(\displaystyle{ \ker f}\) muszą mieć \(\displaystyle{ 4}\) współrzędne, więc 1 trzeba zrobić od nowa

\(\displaystyle{ \ker f}\) obliczymy z układu:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 1\\
3 & -1 & 2 & 0\\
\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}}\)

2) najpierw bym się zorientował jaki będzie wymiar obrazu:

\(\displaystyle{ \dim Im f = 4 - \dim \ker f}\)

[akermann1]

Przepraszam nie zauważyłem posta wprowadziłem poprawki mógłbyś zobaczyć:

-- 7 sty 2015, o 13:29 --

Witam.

Mam następujące zadanie do rozwiązania:

\(\displaystyle{ f(x,y,z,t)=(x+3y+2z,2x+y+z+t,3x-y+2z)}\) \(\displaystyle{ f : R^{4} \to R^{3}}\)

\(\displaystyle{ 1}\)

\(\displaystyle{ Imf=\left\{ x,y,z,t \in \mathbb{R} : x(1,2,3),y(3,1,-1),z(2,1,0),t(0,1,0)\right\}}\)

Z racji tego, że te wektory są liniowo niezależne ponieważ \(\displaystyle{ rz=3}\) zatem

\(\displaystyle{ Imf=lin\left\{ (1,2,3),(3,1,-1),(2,1,0),(0,1,0)\right\}}\)

\(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ Kerf=\left\{ x+3y+2z,2x+y+z+t,3x-y+2z\right\}=(0,0,0)}\)

Po rozwiązaniu tego równania:

\(\displaystyle{ Kerf=( -\frac{2}{5}z, \frac{4}{5}z,z,-z)}\) takiej postaci wektory tworzą jądro.

Proszę o sprawdzenie

Co do wskazówki 2:

\(\displaystyle{ \dim Im f = 4 - \dim \ker f = 4-1=3}\)?-- 7 sty 2015, o 19:03 --UP