Odwzorowanie liniowe.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

Witam.

Napotkałem się z zadaniem następującym:

Dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\) zadane następująco \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x-y+2z;-2x+2y-4z)}\). Do znalezienia mam następujące rzeczy:

1)Obraz
2)Jądro
3)Bazę

Rozpocząłem od wzynaczenia jądra.

Zatem z definicji wiemy, że jądrem odwzorowania \(\displaystyle{ f}\) nazywamy zbiór wszystich wektorów z \(\displaystyle{ V}\), którym jest przyporządkowany wektor zerowy. Prezentacja za pomocą wzoru:

\(\displaystyle{ ker(f)={v \in V:f(v)=0}}\)

Zatem korzystając z definicji podstawiam:

\(\displaystyle{ {x-y+2z,-2x+2y-4z=0}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+2z=0\\-2x+2y-4z=0 / 2\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+2z=0\\-x+y-2z=0 \end{array}}\)

Z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x=y-2z}\)
Podstawiając do drugiego:
\(\displaystyle{ -y+2z+y-2z=0}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\) Podstawiając do \(\displaystyle{ x}\) to wynika z tego, że \(\displaystyle{ x=0}\)
Zatem wszystkie wektory będą postacie \(\displaystyle{ (y-2z,y,z)}\) zatem będą to wektory:
\(\displaystyle{ (1,1,0),(-2,0,1)}\) ?

Nie wiem czy się gdzieś nie pomyliłem bardzo proszę o sprawdzenie jeżeli to jest okej to dorzucę pozostałe podpunkty.

@Edit dodam bazę...

Krok1 Badamy liniową niezależność

\(\displaystyle{ \alpha _{1}(1,-1,2), \alpha _{2}(-2,2,-4)}\)

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ -2 \cdot \alpha _{1} = \alpha _{2}}\) zatem możemy go wykreślić z tego wynika, że mamy tylko jeden wektor liniowo niezależny \(\displaystyle{ (1,-1,2)}\)jednak nie jest on bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) ponieważ mamy tylko jeden wektor i nie może on rozpinać przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)
Ostatnio zmieniony 7 sty 2015, o 00:00 przez akermann1, łącznie zmieniany 1 raz.
ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: ZF+GCH »

akermann1 pisze:Witam.

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+2z=0\\-x+y-2z=0 \end{array}}\)

Z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ x=y-2z}\)
Podstawiając do drugiego:
\(\displaystyle{ -y+2z+y-2z=0}\)
\(\displaystyle{ 0=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ y=0}\) oraz \(\displaystyle{ z=0}\) Podstawiając do \(\displaystyle{ x}\) to wynika z tego, że \(\displaystyle{ x=0}\)
Zatem jądro przekształcenia będzie stanowił po prostu wektor zerowy? \(\displaystyle{ (0,0,0)}\)
Przecież to są te same równania. Czyli masz jedno równanie liniowe \(\displaystyle{ x-y+2z=0}\) z trzema niewiadomymi. To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiór \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniających to równanie jest płaszczyzną.
akermann1 pisze: \(\displaystyle{ \alpha _{1}(1,-1,2), \alpha _{2}(-2,2,-4)}\)
Nie tak, tylko zakładamy, że \(\displaystyle{ \alpha _{1}(1,-1,2) + \alpha _{2}(-2,2,-4)=0}\). To, że one są liniowo zależne to już wcześniej napisałem.
akermann1 pisze: wektor liniowo niezależny \(\displaystyle{ (1,-1,2)}\)jednak nie jest on bazą \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) ponieważ mamy tylko jeden wektor i nie może on rozpinać przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\)
Trudno, żeby element \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) był bazą \(\displaystyle{ \mathbb {R}^{2}}\).
Ale co Ty chcesz zrobić z bazą? Chcesz znaleźć bazę w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}}\)?. Jaki to ma mieć związek z Twoim przekształceniem?
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

Zatem wszystkie wektory będą postacie\(\displaystyle{ B_{Kerf}=(y-2z,y,z)}\) zatem będą to wektory:
\(\displaystyle{ (1,1,0),(-2,0,1)}\) ?-- 7 sty 2015, o 00:12 --namieszałem sam trochę :p
ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: ZF+GCH »

Jądrem jest dokładnie zbiór \(\displaystyle{ Ker_{f}=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^{3} : x-y+2z=0 \right\}}\). Można oczywiście zapisać \(\displaystyle{ Ker_{f}=\left\{ (y-2z,y,z) : y,z \in \mathbb{R} \right\}}\). Można ustalić dwie współrzędne, one wyznaczają jednoznacznie trzecią.
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

A pomożesz mi jeszcze chociaż z obrazem?
ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: ZF+GCH »

Podpowiedź (co zresztą było omawiane przy układzie równań) \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x-y+2z,-2x+2y-4z)=(x-y+2z,(-2)(x-y+2z))}\). Czyli wystarczy znaleźć obraz funkcji \(\displaystyle{ g : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R} , g(x,y,z)=x-y+2z}\). Wtedy \(\displaystyle{ Im_{f}=\left\{ (t,-2t) : t \in Im_{g}\right\}}\). Jaki jest obraz funkcji \(\displaystyle{ g}\)?
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

\(\displaystyle{ lin (1,-2)}\)?
ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: ZF+GCH »

To jest obraz już funkcji \(\displaystyle{ f}\). Mam wątpliwość, czy wiesz co napisałeś
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

Wziąłem współczynniki \(\displaystyle{ t}\) :p
ZF+GCH
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 347
Rejestracja: 10 lis 2013, o 12:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 93 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: ZF+GCH »

No to nie wiesz Obraz funkcji to jest zbiór wartości (\(\displaystyle{ F : X->Y, Im_{F}=\left\{F(x) : x \in X \right\}}\)) funkcji po prostu. Dla każdego \(\displaystyle{ t \in \mathbb{R}}\) np. \(\displaystyle{ g(t,0,0)=t}\), czyli \(\displaystyle{ Im_{g}=\mathbb{R}}\), ale już \(\displaystyle{ Im_{f}=\left\{ (t,-2t) : t \in \mathbb{R}\right\}}\). Wiesz jaki to podzbiór płaszczyzny?
akermann1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrc
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 5 razy

Odwzorowanie liniowe.

Post autor: akermann1 »

Hmm pomyślałem trochę w inny sposób:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2\\-1&2\\2&-4\end{bmatrix}}\)

tutaj zauważyłem, że jeżeli pomnożę: \(\displaystyle{ w_{2}/ \cdot -1 = w_{1}}\) oraz \(\displaystyle{ w_{3}/ \ 2 = w_{1}}\) zatem pozostaje nam tylko wektor \(\displaystyle{ (1,-2)}\). Wiadomo oczywiście, że wektor \(\displaystyle{ (1,-2)}\) jest liniowoniezależny a co za tym idzie jest bazą \(\displaystyle{ Imf}\).

Nie wiem tylko jak to do końca powinno być formalnie ale zaryzykuję:

\(\displaystyle{ Im\phi =\{(x-y+2z, -2x+2y-4z):x,y,z\in R\}=\{x\cdot (1,-2)+y\cdot (-1,2)+z\cdot (2,-4):x,y,z \in R\}=lin((1,-2))}\)
ODPOWIEDZ