Podprzestrzenie liniowe

[Lays141]

Witam, prosiłbym o rozwiązanie kilku zadań. Nie było mnie na kilku zajęciach, więc wyjaśnienie byłoby mile widziane. Analogicznie już spróbuje rozwiązać inne ze zbioru.

1) Sprawdz, czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podprzestrzenia liniowa przestrzeni \(\displaystyle{ R^{5}}\). Jesli tak, to wyznacz jej baze i wymiar.
\(\displaystyle{ A = \left\{ x \in R ^{5}: x _{1} + 2x _{2} - x _{4} + 3x _{5} = 0 \wedge x _{3} - 2x _{4} = 0\right\}}\)

2) Dla jakiej wartosci parametru p wektory \(\displaystyle{ a _{1} = \left[ p+1 \ \ 2\ \ -1\right] ^{T}, a _{2} = \left[ 0 \ \ 2 \ \ p+1\right] ^{T}, a _{3} = \left[ 2p+1 \ \ -p \ \ p \right] ^{T}}\) tworza baze przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ? Odpowiedz uzasadnic. Dla \(\displaystyle{ p=-2}\) zapisac wektor \(\displaystyle{ a = \left[ 3 \ \ 4 \ \ 0\right]}\) jako kombinacje liniowa wektorów \(\displaystyle{ a _{1} , a _{2} , a _{3}}\) Zinterpretowac współczynniki tej kombinacji
liniowej.

3) Sprawdz, czy wektor \(\displaystyle{ a = \left[ 1 \ \ 2 \ \ 0\right] ^{T}}\) nalezy do podprzestrzeni \(\displaystyle{ L\left( \left[ 1 \ \ 0 \ \ 1\right] ^{T} ; \left[ 2 \ \ -1 \ \ 1\right] ^{T} ; \left[ 0 \ \ 2 \ \ -2\right] ^{T} \right)}\)

[Kacperdev]

1) Wektory to ciągi pięcioelementowe z \(\displaystyle{ \RR}\). To po pierwsze. Opiszmy zatem te elementy.
Warnkiem są tu dwa równania (układ dwóch równań). Oczywiście są one liniowe niezależne dlatego proponuję z drugiego wyznaczyć \(\displaystyle{ x_3}\) i wstawić do pierwszego. I z pierwszego też wyznaczyć jakąs zmienną. Zrób na razie tyle.