Mam sprawdzić, czy podany układ wektorów jest liniowo niezależny w przestrzeni C(R,R).
\(\displaystyle{ x _{1}(t)=e ^{t}, x _{2}(t)=e ^{t+1},x _{3}(t)=e ^{t+2}... itd}\)
Dowód przeprowadzam indukcyjnie:
1)\(\displaystyle{ Dla n=1 x _{1}(t)=e ^{t} więc \alpha_{1}e^{t}=0=> \alpha_{1}=0}\)
2) Ustalamy n i zakładamy że
\(\displaystyle{ \alpha_{1}e^{t}+\alpha_{2}e^{t+1}_... +\alpha_{n}e^{t+n}=0}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}e^{t}+\alpha_{2}e^{t+1}_... +\alpha_{n}e^{t+n}+\alpha_{n+1}e^{t+n+1}=0}\)
Różniczkując obie strony mamy, że:
\(\displaystyle{ \alpha_{1}e^{t}+(t+1)\alpha_{2}e^{t+1}_... +(t+n)\alpha_{n}e^{t+n}+(t+n+1)\alpha_{n+1}e^{t+n+1}=0}\)
W tym miejscu utknełam i nie wiem jak dalej ruszyć. Dobrze to jest zrobione?
Liniowa niezależność
-
szw1710
Liniowa niezależność
Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{t+1}=e\cdot e^t}\). Czy te wektory mogą być liniowo niezależne???
Natomiast układem liniowo niezależnym jest \(\displaystyle{ (1,e^t,e^{2t},e^{3t},\dots)}\). Sprawdź to. Ingeruje tu wyznacznik Vandermonde'a.
Natomiast układem liniowo niezależnym jest \(\displaystyle{ (1,e^t,e^{2t},e^{3t},\dots)}\). Sprawdź to. Ingeruje tu wyznacznik Vandermonde'a.
Liniowa niezależność
Czemu mam to sprawdzić?szw1710 pisze:Zauważ, że \(\displaystyle{ e^{t+1}=e\cdot e^t}\). Czy te wektory mogą być liniowo niezależne???
Wydaje mi się że mogą być one liniowo niezależne ale nie wiem czemu i czy mam racje.
Natomiast układem liniowo niezależnym jest \(\displaystyle{ (1,e^t,e^{2t},e^{3t},\dots)}\). Sprawdź to. Ingeruje tu wyznacznik Vandermonde'a.
-
szw1710
Liniowa niezależność
Z podobnego powodu, dla którego wektory \(\displaystyle{ (1,2)}\) i \(\displaystyle{ (2,4)}\) są liniowo zależne w \(\displaystyle{ \RR^2}\). Niestety, młodzi ludzie od razu patrzą na sprawę formalnie. A wystarczy nieco pokombinować. Na przyszłość nie żyj tylko definicją, a uświadom sobie znaczenie pojęcia, które opanowujesz.
-
szw1710
Liniowa niezależność
Oczywiście ja to piszę z poziomu dużego doświadczenia. Student(ka) rozwiązując wiele zadań musi je zdobyć. Stąd ta rada, aby nie patrzeć na wszystko przez pryzmat definicji.
No więc w zamian za wskazówkę zrób moje dodatkowe ćwiczenie. Wykaż mianowicie, że układ funkcji \(\displaystyle{ (1,e^t,e^2t)}\) jest liniowo niezależny w \(\displaystyle{ C(\RR,\RR)}\). Tu już definicja jest najlepszym sposobem rozwiązania
No więc w zamian za wskazówkę zrób moje dodatkowe ćwiczenie. Wykaż mianowicie, że układ funkcji \(\displaystyle{ (1,e^t,e^2t)}\) jest liniowo niezależny w \(\displaystyle{ C(\RR,\RR)}\). Tu już definicja jest najlepszym sposobem rozwiązania