Baza przestrzeni liniowej C(R,R)

[Nina1990]

Mam problem z następujęcym zadaniem: Mam sprawdzić, czy:
\(\displaystyle{ x _{1}(t)=e ^{t}, x _{2}(t)=e ^{2t},..., x _{n}(t)=e ^{nt},}\)
tworzy bazę przestrzeni liniowej C(R,R).
Sprawdzilam i jest liniowo niezależny, ale jak sprawdzić, że generuje X?
Proszę o pomoc.

[szw1710]

To nie jest baza w sensie bazy przestrzeni liniowej. Np. nie wygenerujemy tym układem funkcji stałej. Powiedzmy, że dopiszemy tu funkcję stałą \(\displaystyle{ x_0(t)=1\;(=e^{0t})}\). Ale tym nowym układem można tylko wygenerować funkcje postaci \(\displaystyle{ f(t)=\sum_{k=0}^m\alpha_ke^{kt}.}\) W przestrzeni liniowej nie jest dozwolone branie granicy ciągu funkcyjnego. Więc nie otrzymamy dowolnej funkcji ciągłej.