Podprzestrzeń w ogólnym zapisie

[Poszukujaca]

W zbiorze \(\displaystyle{ R^{n}}\) rozpatrujemy podzbiór \(\displaystyle{ V=\left\{x=(x_{1},x_{2},...,x_{n}):\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...+\alpha_{n}x_{n}=0\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_{1} \in R}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\) oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2}>0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ (V,R,+, \cdot )}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ (R^{n},R,+, \cdot )}\).

Proszę o jakiekolwiek wskazówki.

[Medea 2]

Musisz (wystarczy) pokazać, że \(\displaystyle{ V}\) jest zamknięty na branie kombinacji liniowych, odwracanie i zawiera wektor zerowy. Z czym masz problem...?

[Kacperdev]

wskazówka: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2}>0}\) - z tego wynika, że chociaż jedno \(\displaystyle{ a_i \neq 0}\)

[Poszukujaca]

wskazówka: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2}>0}\) - z tego wynika, że chociaż jedno \(\displaystyle{ a_i \neq 0}\)

Czy ten warunek oznacza, że struktura ta składa się z przynajmniej jednego niezerowego wektora?

Co oznacza ,,zamknięty na kombinacje"?

[Kacperdev]

Nie, to nie oznacza tego.

Zamkniętość kombinacji polega, że suma dwóch wektorów z podprzestrzeni należy do podprzestrzeni.

Medea 2, trochę przesadziła. Wystarczy sprawdzić czy suma dwóch wektorów należy do podprzestrzeni oraz, że pomnożenie przez skalar wektora także należy do podprzestrzeni. Cała reszta wynika z tych dwóch warunków.

[Poszukujaca]

Zatem spróbuję zrobić tak, jak mówisz.

Biorę dwa wektory \(\displaystyle{ v_{1},v_{2} \in V}\)
\(\displaystyle{ v_{1}=(x_{1},x_{2},...,-(\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+...+\alpha_{n-1}x_{n-1}))}\)
\(\displaystyle{ v_{2}=(y_{1},y_{2},...,-(\alpha_{1}y_{1}+\alpha_{2}y_{2}+...+\alpha_{n-1}y_{n-1}))}\)

Teraz dodaję te dwa wektory:
\(\displaystyle{ v_{1}+v_{2}=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},...,-(\alpha_{1}(x_{1}+y_{1})+\alpha_{2}(x_{2}+y_{2})+...+\alpha_{n-1}(x_{n-1}+y_{n-1})))}\)

Widać, że otrzymany wektor spełniany warunek opsiujacy strukturę \(\displaystyle{ V}\). Zatem addytywność jest spełniona.

Jednorodność pokazuję analogicznie dla jednego wektora.

[Kacperdev]

Poszukujaca, albo mamy konflikt oznaczeń, albo nie podzieliłaś przez \(\displaystyle{ a_{n}}\). Warunek z sumą zabezpiecza nas by ta podprzestrzeń nie była przestrzenią \(\displaystyle{ \RR^{n}}\) bo mielibyśmy \(\displaystyle{ 0=0}\).

Ale ogolnie idea dobra.

[Poszukujaca]

A, tak! Po prostu zapomniałam podizleić. Późna godzina robi swoje. Zatem wszystko powinno byc tak samo, tylko każdy współczynnik \(\displaystyle{ a_{i}}\) podzielony przez \(\displaystyle{ a_{n}}\)

[Kacperdev]

Tak.

[Poszukujaca]

A jednorodność będzie tak;

\(\displaystyle{ \beta \cdot v_{1}=(\beta x_{1},\beta x_{2},...,-\beta(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{n}}x_{1}+\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{n}}x_{2}+...+\frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{n}} x_{n} ))}\)

[Kacperdev]

Tak, ale lepiej to zapisać:

\(\displaystyle{ \beta \cdot v_{1}=(\beta x_{1},\beta x_{2},...,-(\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{n}}\left( \beta x_{1}\right) +\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{n}}\left( \beta x_{2}\right)+...+\frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_{n}} \left( \beta x_{n}\right)))}\)