Czy podana przestrzeń ma baze skończoną

[Poszukujaca]

Czy ta przestrzeń ma baze skońcozną?
1) \(\displaystyle{ R^{R}(R)}\)
2) \(\displaystyle{ \left( \left\{ f\in R^{N_{1}}: \lim_{n \to \infty} f(n)=0\right\},R,+, \cdot \right)}\)

[ZF+GCH]

\(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)=mathbb{R}. Co to jest \(\displaystyle{ N_{1}}\)?

-- 5 sty 2015, o 22:31 --

A jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}(\mathbb{R})}\) oznacza funkcje rzeczywiste nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to w 1) nie ma bazy skończonej, bo wiadomo, że bazą w przestrzeni wielomianów jest następujący zbiór funkcji \(\displaystyle{ \left\{x^{n} : n \in \mathbb{N}\right\}}\). A przestrzeń wielomianów to oczywiście podprzestrzeń tej z zadania.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ N_{1}=\left\{1,2,..n\right\}}\) - czyli po prostu zbiór liczb naturalnych, jeśli przyjmujemy, że \(\displaystyle{ 0 \notin N}\)

[Kacperdev]

W drugim rozpatrz np. podprzestrzeń:

\(\displaystyle{ A=\left\{ \frac{w(x)}{e^{x}} : w(x) \in \RR \left[ x\right] \right\}}\) i użyj argumentu podobnego jak w pierwszym

[Poszukujaca]

A czy druga przestrzeń nmoge rozumieć jako zbiór wsyztskich ciagów o wyrazach rzeczywistych, których grnaica jest równa zero okreslonych nad ciałem R z dodawaniem i mnożeniem?

[Kacperdev]

Tak. To co ja wziąłem to pewna podprzestrzeń właśnie tej przestrzeni.

[Poszukujaca]

Czyli bierzemy podprzestrzeń - pewną częśc przestrzeni i pokazujemy, że nie ma ona bazy skońcoznej zatem cała przestrzeń też nie może mieć. DObrze rozumiem?

[Kacperdev]

Dokładnie tak.

[Poszukujaca]

A dlaczego właśnie ta podprzestrzeń? Czy jej granica wynosi zero? Nie widzę, by ta granica była równa zero.

[Kacperdev]

jakikolwiek wielomian dzielony przez funkcję wykładniczą zawsze zbiega do zera. Jakbyś "hopitalowała" ten iloraz do w mianowniku zawsze będzie \(\displaystyle{ e^{x}}\) a w liczniku będzie w każdym kroku się mniejszać, aż do \(\displaystyle{ ax^{0}=a}\).

[Poszukujaca]

Na intuicje to czuć. A jeśli chciałabym jakoś policzyć tą granicę?

I jeszcze jedno pytanie.

A jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}(\mathbb{R})}\) oznacza funkcje rzeczywiste nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to w 1) nie ma bazy skończonej, bo wiadomo, że bazą w przestrzeni wielomianów jest następujący zbiór funkcji \(\displaystyle{ \left\{x^{n} : n \in \mathbb{N}\right\}}\). A przestrzeń wielomianów to oczywiście podprzestrzeń tej z zadania.

Czy niestnienie bazy skońcoznej wynika z nieksończonego wymiaru przestrzeni \(\displaystyle{ R^{R}(R)}\)?

[Kacperdev]

W pewnym sensie to pojęcia równoważne. Wymiar jest nieskończony, więc i baza jest nieskończona.

Odnośnie granicy - to co napisałem jest już zaczątkiem dowodu.


\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}}{e^{x}} = \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] H_{1} = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}nx^{n-1}+a_{n-1}\left( n-1\right) x^{n-2}+...+a_{1}}{e^{x}}= .... = \left[ \frac{ \infty }{ \infty } \right] H_{n} = \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n}n!}{e^{x}} = \left[ \frac{\text{stała}}{ \infty } \right] = 0}\)

[Poszukujaca]

Skąd się wzięła silnia?

[Kacperdev]

Jak licze kolejne pochodne, to wykładnik zrzucam przed iksa. Najpierw zrzucę \(\displaystyle{ n}\) potem \(\displaystyle{ n-1}\) itd. \(\displaystyle{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ...\cdot 2 \cdot 1 = n!}\)

[Poszukujaca]

Okej. Kropki oznaczają, że liczymy pochodną n-razy. ALe jeszcze nie do końca rozumeim dlaczego z tej pochondje licnzika zostało tylko \(\displaystyle{ a_{n} n!}\).. CO się dzieje z wyrazami ciągu?