Warunek na odwzorowanie liniowe - dowód

[Poszukujaca]

Wykazać, że \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Z}\) jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni \(\displaystyle{ X(K)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ Z(X)}\) wtedy i tylko wtedy,gdy dla dowolnych elementów \(\displaystyle{ x,y \in X}\), \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in K}\):
\(\displaystyle{ f(\alpha \circ x+\beta \circ y)=\alpha \circ f(x) + \beta \circ f(y)}\)

Trzeba pokazać, że ten jeden warunek jest równoznaczy dwóm. Jak to zrobić?

[Medea 2]

Nie do końca rozumiem Twoje oznaczenia (\(\displaystyle{ X(K)}\) chociażby), ale wygląda na to, że możesz wziąć \(\displaystyle{ \beta = 0}\), żeby pokazać jednorodność i \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 1}\), żeby dostać addytywność.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ X(K)}\) oznacza przestrzeń wektrową nad ciałem \(\displaystyle{ K}\).

Tak, rzeczywiście jeśli przyjmę, że jeden ze współczynników \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) jes tówny zero to dostanę addytywność. Problemw tym, że muszę pokazać tę zależnosc dla wszystkich współczynnikó rzeczywistych.

[Medea 2]

Więc w czym problem? W moim poprzednim poście jest dowód implikacji w jedną stronę. Dowód w drugą będzie... podobny. Założ addytywność i jednorodność, popatrz na \(\displaystyle{ f(\alpha \circ x+ \beta \circ y)}\) i zastanów się, co można z tym zrobić. Podpowiem, że nie masz wiele opcji: jedna to addytywność, a druga to... jednorodność!

[Poszukujaca]

Ok. Spróbuje napisać cały dowód:

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\)
Zakładam, że \(\displaystyle{ f}\) jest odwzorowaniem liniowym. Wtedy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in X}\) i \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in K}\) zachodzą równości:
\(\displaystyle{ \alpha \circ f(x) = f(\alpha \circ x)}\)
\(\displaystyle{ \beta \circ f(y)=f(\beta \circ y)}\)
Mogę dodać te równania stronami:
\(\displaystyle{ \alpha \circ f(x) + \beta \circ f(y) = f(\alpha \circ x) + f(\beta \circ y)}\)

Jak rozważę sytuację, kiedy jeden ze skalarów jest równy zero - równość \(\displaystyle{ f(\alpha \circ x+\beta \circ y)=\alpha \circ f(x) + \beta \circ f(y)}\) dostaję od razu. Ale co w przypadku, kiedy oba skalary są różne od zera?

[Medea 2]

Chyba nie rozumiesz, co tu się dzieje. Pokażę: \(\displaystyle{ f}\) jest liniowe \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) jest addytywne i jednorodne.

Jeżeli zakładasz liniowość, to \(\displaystyle{ f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)}\) jest prawdą dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, \alpha, \beta}\). Skoro dla każdych, to także dla \(\displaystyle{ \alpha = \beta = 1}\) (addytywność) lub dla \(\displaystyle{ \beta = 0}\) (jednorodność).

Teraz w drugą stronę: załóżmy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, \alpha}\) mamy \(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) + f(y)}\) i \(\displaystyle{ f(\alpha x) = \alpha f(x)}\). Dokończysz?

[Poszukujaca]

Pogubiłam się.

Czy w tym dowodzie, który napisałaś nie korzystamy z tego, co chcemy udowodnić?

\(\displaystyle{ f(\alpha x + \beta y)=\alpha f(x)+ \beta f(y)}\) tą równość chcemy przecież udowodnić.

[Medea 2]

Nie: zakładam liniowość (to, co napisałaś w ostatnim poście) i pokazuję addytywność z jednorodnością. W pierwszym poście była równoważność, pokazałam wynikanie w jedną stronę. Jeżeli chcesz pokazać liniowość, to trzeba odwrócić implikację i zrobić nowy dowód, o to Cię poprosiłam .

[Poszukujaca]

Mogłabyś mi trochę rozjasnić dlaczego tak powinien wyglądać ten dowód? Teraz już nic z tego nie rozumiem Dalej mam wrażenie, że korzystamy z tego, co mamy udowodnić...