Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:
Podaj najmniejsze \(\displaystyle{ n}\), takie że błąd aproksymacji jednostajnej funkcji \(\displaystyle{ f(x) = sin(x)}\) w przedziale \(\displaystyle{ [-4\pi, 4\pi]}\) przez optymalnie dobrany wielomian stopnia \(\displaystyle{ n}\) jest mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\). Odpowiedź uzasadnij, powołując się na stosowne twierdzenie.
Widać z rysunku, że wielomian musi być stopnia przynajmniej \(\displaystyle{ 7}\). Z drugiej strony biorąc węzły Czebyszewa błąd mniejszy niż \(\displaystyle{ 1}\) wychodzi dopiero dla \(\displaystyle{ n=15}\). W jaki sposób znaleźć lepsze oszacowanie?
Apkroksymacja jednostajna - znajdź najmniejszy stopień g(x)
Apkroksymacja jednostajna - znajdź najmniejszy stopień g(x)
A może się nie da... właśnie węzły Czebyszewa są optymalne. W szczególności pozwalają uniknąć efektu Rungego. Trop jest dobry.
Apkroksymacja jednostajna - znajdź najmniejszy stopień g(x)
Wydaje mi się, że jak mamy wzór na resztę interpolacyjną:
\(\displaystyle{ ||f-g|| = \frac{|f^{n+1}(e(x))|}{(n+1)!}|p_{n+1}(x)}\)
To biorąc węzły Czebyszewa minimalizujemy czynnik \(\displaystyle{ |p_{n+1}(x)|}\). Ale to nie znaczy, że jest to optymalne rozwiązanie. Co więcej, algorytm Remeza służy właśnie szukaniu rozwiązania optymalnego (a jako punkt początkowy bierze on interpolację Hermite'a opartą o węzły Czebyszewa).
PS. Algorytm Remeza jest na tyle skomplikowany i czasochłonny, że odrzucam możliwość, że on jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.
\(\displaystyle{ ||f-g|| = \frac{|f^{n+1}(e(x))|}{(n+1)!}|p_{n+1}(x)}\)
To biorąc węzły Czebyszewa minimalizujemy czynnik \(\displaystyle{ |p_{n+1}(x)|}\). Ale to nie znaczy, że jest to optymalne rozwiązanie. Co więcej, algorytm Remeza służy właśnie szukaniu rozwiązania optymalnego (a jako punkt początkowy bierze on interpolację Hermite'a opartą o węzły Czebyszewa).
PS. Algorytm Remeza jest na tyle skomplikowany i czasochłonny, że odrzucam możliwość, że on jest potrzebny do rozwiązania tego zadania.