Witam serdecznie to jest pierwszy post z mojej strony więc jeżeli napiszę coś nie tak to proszę o skorygowanie.
Zadanie:
Mam sprawdzić , czy wektory \(\displaystyle{ v_{1}=[1,2],v_{2}=[3,4],v_{3}=[1,4]}\) są liniowo niezależne na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\).
Oczywiście wiem, że skoro sprawdzamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) to widać, że tylko dwa muszą być liniowo niezależne nawet licząc wyznacznik macierzy ułożonej z tych trzech wektorów to wynosi \(\displaystyle{ 0}\) zatem rząd macierzy o ile się nie mylę jest niższy.
Zadanie zacząłem rozwiązywać następująco:
\(\displaystyle{ \alpha _{1} [1,2] , \alpha _{2} [3,4] , \alpha _{3} [1,4]}\)
Wektory są liniowo zależne wtedy gdy da się przedstawić jakikolwiek wektor z tych trzech za pomocą pozostałych wektorów odpowiednio pomnożonych przez określony skalar \(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}\)
To nas prowadzi do układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha _{1}+3\alpha _{2}+\alpha _{3}=0 \ / \cdot 2\\2\alpha _{1}+4\alpha _{2}+4\alpha _{3}=0\end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2\alpha _{1}+6\alpha _{2}+2\alpha _{3}=0 \\2\alpha _{1}+4\alpha _{2}+4\alpha _{3}=0\end{array}}\)
\(\displaystyle{ -2\alpha _{2}+2 \alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ -2\alpha _{2}=-2 \alpha _{3} /-2}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{2}= \alpha _{3}}\)
Zatem mając \(\displaystyle{ \alpha _{2}}\) możemy podstawić:
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+3\alpha _{2}+\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+3\alpha _{3}+\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+4\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}=-4\alpha _{3}}\)
W tym momencie zaprzestaję.... bo albo coś źle liczę albo nie wiem jak do końca doprowadzić to zadanie... bardzo proszę o pomoc i oczywiście za wszelkie rady dziękuję.
Sprawdzenie liniowej niezależności
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Sprawdzenie liniowej niezależności
Ale już wszystko masz.
Istnieje niezerowy współczynnik \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) spełniajacy równość \(\displaystyle{ -4\alpha _{3}\left[ 1,2\right] +\alpha _{3}\left[ 3,4\right] +\alpha _{3}\left[ 1,4\right]=0}\) ?
Tak , wiec wektory sa zależne.
Istnieje niezerowy współczynnik \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) spełniajacy równość \(\displaystyle{ -4\alpha _{3}\left[ 1,2\right] +\alpha _{3}\left[ 3,4\right] +\alpha _{3}\left[ 1,4\right]=0}\) ?
Tak , wiec wektory sa zależne.
-
- Użytkownik
- Posty: 94
- Rejestracja: 27 gru 2014, o 19:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrc
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 5 razy
Sprawdzenie liniowej niezależności
a nie trzeba podawać ile wynosi konkretnie \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) w tym równaniu? Bo ja rozumiem, że trzeba teraz wyrzucić jeden wektor...-- 27 gru 2014, o 21:12 --A mogę np dzięki temu dla potwierdzenia dopowiedzieć , że jeżeli za \(\displaystyle{ \alpha _{3} = 1}\) to uzyskamy za pomocą kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ v_{1},v{2}}\) wektor \(\displaystyle{ v_{3}}\) dokładnie tak:
\(\displaystyle{ v_{3} = -4v_{1}+v_{2}}\)
i to jest oczywiście prawda.
\(\displaystyle{ v_{3} = -4v_{1}+v_{2}}\)
i to jest oczywiście prawda.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Sprawdzenie liniowej niezależności
Aby wykazać liniową niezależność wektorów należy pokazać że tylko układ trywialny współczynników (same zera) rozwiązuje równanie \(\displaystyle{ \alpha \vec{a}+ \beta \vec{b} +...+\nu \vec{n} =0}\).
Tu istnieje nieskończenie wiele nietrywialnych układów wspólczynników zależnych od \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) . Niestety tego nie napisałem sądząc że jest to oczywiste. Sorry.
Jak najbardziej masz rację, że wskazanie jednego konkretnego niezerowego rozwiązania stwierdza liniową zależność wektorów.
Tu istnieje nieskończenie wiele nietrywialnych układów wspólczynników zależnych od \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) . Niestety tego nie napisałem sądząc że jest to oczywiste. Sorry.
Jak najbardziej masz rację, że wskazanie jednego konkretnego niezerowego rozwiązania stwierdza liniową zależność wektorów.