Sprawdzenie liniowej niezależności

[akermann1]

Witam serdecznie to jest pierwszy post z mojej strony więc jeżeli napiszę coś nie tak to proszę o skorygowanie.

Zadanie:

Mam sprawdzić , czy wektory \(\displaystyle{ v_{1}=[1,2],v_{2}=[3,4],v_{3}=[1,4]}\) są liniowo niezależne na \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\).

Oczywiście wiem, że skoro sprawdzamy \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\) to widać, że tylko dwa muszą być liniowo niezależne nawet licząc wyznacznik macierzy ułożonej z tych trzech wektorów to wynosi \(\displaystyle{ 0}\) zatem rząd macierzy o ile się nie mylę jest niższy.

Zadanie zacząłem rozwiązywać następująco:

\(\displaystyle{ \alpha _{1} [1,2] , \alpha _{2} [3,4] , \alpha _{3} [1,4]}\)

Wektory są liniowo zależne wtedy gdy da się przedstawić jakikolwiek wektor z tych trzech za pomocą pozostałych wektorów odpowiednio pomnożonych przez określony skalar \(\displaystyle{ \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}\)

To nas prowadzi do układu równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha _{1}+3\alpha _{2}+\alpha _{3}=0 \ / \cdot 2\\2\alpha _{1}+4\alpha _{2}+4\alpha _{3}=0\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2\alpha _{1}+6\alpha _{2}+2\alpha _{3}=0 \\2\alpha _{1}+4\alpha _{2}+4\alpha _{3}=0\end{array}}\)

\(\displaystyle{ -2\alpha _{2}+2 \alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ -2\alpha _{2}=-2 \alpha _{3} /-2}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{2}= \alpha _{3}}\)

Zatem mając \(\displaystyle{ \alpha _{2}}\) możemy podstawić:

\(\displaystyle{ \alpha _{1}+3\alpha _{2}+\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+3\alpha _{3}+\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}+4\alpha _{3}=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha _{1}=-4\alpha _{3}}\)

W tym momencie zaprzestaję.... bo albo coś źle liczę albo nie wiem jak do końca doprowadzić to zadanie... bardzo proszę o pomoc i oczywiście za wszelkie rady dziękuję.

[kerajs]

Ale już wszystko masz.
Istnieje niezerowy współczynnik \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) spełniajacy równość \(\displaystyle{ -4\alpha _{3}\left[ 1,2\right] +\alpha _{3}\left[ 3,4\right] +\alpha _{3}\left[ 1,4\right]=0}\) ?
Tak , wiec wektory sa zależne.

[akermann1]

a nie trzeba podawać ile wynosi konkretnie \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) w tym równaniu? Bo ja rozumiem, że trzeba teraz wyrzucić jeden wektor...-- 27 gru 2014, o 21:12 --A mogę np dzięki temu dla potwierdzenia dopowiedzieć , że jeżeli za \(\displaystyle{ \alpha _{3} = 1}\) to uzyskamy za pomocą kombinacji liniowej wektorów \(\displaystyle{ v_{1},v{2}}\) wektor \(\displaystyle{ v_{3}}\) dokładnie tak:

\(\displaystyle{ v_{3} = -4v_{1}+v_{2}}\)

i to jest oczywiście prawda.

[kerajs]

Aby wykazać liniową niezależność wektorów należy pokazać że tylko układ trywialny współczynników (same zera) rozwiązuje równanie \(\displaystyle{ \alpha \vec{a}+ \beta \vec{b} +...+\nu \vec{n} =0}\).
Tu istnieje nieskończenie wiele nietrywialnych układów wspólczynników zależnych od \(\displaystyle{ \alpha _{3}}\) . Niestety tego nie napisałem sądząc że jest to oczywiste. Sorry.
Jak najbardziej masz rację, że wskazanie jednego konkretnego niezerowego rozwiązania stwierdza liniową zależność wektorów.