Znaleźć macierz odwrotną.

[majkz]

Witam.

Mam problem z następującym zadaniem:

Oblicz wyznacznik macierzy i jeśli jest ona osobliwa, znajdź macierz do niej odwrotną.

\(\displaystyle{ F_{n} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 0
\end{bmatrix}}\)

Nie mam pomysłu jak to ugryźć. Podejrzewam, że trzeba potraktować ją odpowiednimi przekształceniami, ale w jaki sposób - zagadka.

Z góry dziękuję za pomoc,
pozdrawiam!

[kerajs]

Oblicz wyznacznik macierzy i jeśli jest ona osobliwa, znajdź macierz do niej odwrotną.

Raczej: Oblicz wyznacznik macierzy i jeśli jest ona nieosobliwa, znajdź macierz do niej odwrotną
\(\displaystyle{ F_{n} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 0
\end{bmatrix} =}\)
od wszystkich wierszy odejmuje wierzs ostatni
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1& 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 &-1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0
\end{bmatrix}}\)
i do ostatniego wiersza dodaję pozostałe wiersze
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-1& 0 & 0 & \cdots & 1 \\
0 &-1 & 0 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & n-1
\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \left| F\right| =(-1) ^{n-1}(n-1)}\)

[majkz]

Dziękuję za zainteresowanie się tematem.
Będę miał jeszcze pytanie, bo do końca nie rozumiem powyższego mechanizmu.
A mianowicie:
Dlaczego pojawia się kolejna kolumna? I skąd wiemy, że w trzeciej kolumnie (tej dołożonej), w pierwszym/drugim wierszu tej kolumny będą akurat jedynki?

[kerajs]

1.
Fakt, mogłem to napisać .
Ja powiększyłem ilość wyświetlanych kolumn (a dokładnie to pojawiła się kolumna trzecia) wyłącznie w celu zwiększenia przejrzystości zapisu. To nadal jest macierz kwadratowa n-tego stopna

2.
Powinienem też dodać ze wygląd macierzy i wartość wyznacznika jest prawdziwa dla n>1. Dla n=1 masz macierz zerową ( jest osobliwa więc nie ma odwrotnej).

3. Macierzą F jest macierz o zerach na diagonali głównej i jedynkach w pozastałych miejscach.
Proponuję ćwiczenie:
Napisz sobie taką macierz 3 i/lub 4 i/lub 5 stopnia i wykonaj nastepujace przekształcenia elementarne:
- od wszystkich (oczywiście oprócz ostatniego) odejmij wiersz ostatni
- a nastepnie do wiersza ostatniego dodaj wiersze od pierwszego do przedostatniego.
To pomoże Ci zrozumieć wygląd takiej macierzy dowolnego stopnia.

[majkz]

Wszystko jasne, dziękuję za pomoc.
Po prostu wychodziłem z założenia, że tam gdzie są kropki może być dowolna liczba.
Dla pewności, gdybym na przykład spotkał się z czymś takim:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}}\)

To to nic innego jak zapis macierzy jednostkowej?

[kerajs]

Tak, to macierz jednostkowa.

Pamiętaj, że obliczenie wyznacznika to jedynie część zadania. Trzeba jeszcze znaleźć macierz odwrotną do F.