podprzestrzen afiniczna

[bazalt94]

Zbadaj czy Y jest podprzestrzenią afiniczną \(\displaystyle{ X=R ^{4}}\)

\(\displaystyle{ Y=\{( y^{1}, y^{2}, y^{3}, y^{4}) : y^{1}-y^{2}-9y^{3}-8y^{4}=1 \}}\)

Ja zrobiłam do tego momntu, ale nie wiem co dalej:
Biore 2 punkty należące do Y

\(\displaystyle{ A=( a^{1}, a^{2}, a^{3}, a^{4})}\)
\(\displaystyle{ B=( b^{1}, b^{2}, b^{3}, b^{4})}\)

\(\displaystyle{ A= a^{1}-a^{2}-9a^{3}-8a^{4}=1}\)
\(\displaystyle{ B= b^{1}-b^{2}-9b^{3}-8b^{4}=1}\)


Szukam wektora wodzącego \(\displaystyle{ r_{A} (B)=B-A}\)
prosze o dalszą pomoc

[ZF+GCH]

Jest to hiperpłaszczyzna trójwymiarowa, która jest równa \(\displaystyle{ \{(0,0,0,-\frac{1}{8})\} + \{( y^{1}, y^{2}, y^{3}, y^{4}) : y^{1}-y^{2}-9y^{3}-8y^{4}=0 \}}\), zatem jest postaci podzbiór \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4 +}\) podprzestrzeń liniowa. Pokaż sobie, że \(\displaystyle{ \{( y^{1}, y^{2}, y^{3}, y^{4}) : y^{1}-y^{2}-9y^{3}-8y^{4}=0 \}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).
Inaczej patrząc, zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest warstwą pewnego izomorfizmu liniowego \(\displaystyle{ \phi \colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}}\) określonego wzorem \(\displaystyle{ \phi((y^{1},y^{2},y^{3},y^{4}))=y^{1}-y^{2}-9y^{3}-8y^{4}}\).

Przepraszam, oczywiście \(\displaystyle{ \phi}\) jest homomorfizmem.