Izometrie w R2

[matemaciej]

Cześć,
Skąd wiadomo, że symetria i obrót to jedyne izometrie w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ?

[szw1710]

A translacja? Chodzi o izometrie liniowe.

[matemaciej]

Tak, nie doprecyzowałem. Oczywiście chodzi o liniowe.

[szw1710]

Rozpisz sobie na macierzach. Warunek liniowej izometrii: \(\displaystyle{ \|T(x,y)\|=\|(x,y)\|}\) dla każdego \(\displaystyle{ (x,y)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ T(x,y)=(ax+by,cx+dy)}\), to biorąc \(\displaystyle{ x=1,y=0}\) mamy \(\displaystyle{ a^2+c^2=1}\), a biorąc \(\displaystyle{ x=0,y=1}\) mamy \(\displaystyle{ b^2+d^2=1}\). Z kolei macierz izometrii ma wyzancznik \(\displaystyle{ 1}\) bądź \(\displaystyle{ -1}\), więc \(\displaystyle{ |ad-bc|=1}\). Kojarząc te rzeczy dojdziesz do postaci liniowych izometrii. Warto wcześniej zobaczyć jak wyglądają macierze obrotów i symetrii. Ponieważ odwzorowania mają być liniowe, \(\displaystyle{ 0}\) ma być punktem stałym. Stąd obrót tylko dookoła początku układu, a symetria tylko względem prostej zawierającej \(\displaystyle{ 0}\).

[matemaciej]

Dzięki za odpowiedź. Ale skąd wiemy, że ma wyznacznik \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) ? Wynika to bezprośrednio z tych podstawień czy z czegoś innego?

[szw1710]

To już jest coś takiego, co wiedzą wszyscy, a trudno znaleźć dowód Ale to tak po prostu jest!!!

Elementarnie nie mam za bardzo ochoty szukać dowodu. W książce Łojasiewicza Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych jest twierdzenie mówiące, że miara Lebesgue'a obrazu zbioru przez przekształcenie liniowe jest równa modułowi wyznacznika macierzy tego przekształcenia pomnożonemu przez miarę danego zbioru. Skoro izometria zachowuje pole figury, to wobec tego jej wyznacznik musi wynosić \(\displaystyle{ \pm1}\).

Zadanko można też zaatakować bardziej elementarnie. Wiadomo, że każda izometria jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii osiowych. Więc mamy tu dwa pytania:

1. Jakim odwzorowaniem jest złożenie symetrii osiowych o osiach przecinających się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

2. Czy jeśli izometria jest liniowa, to jej składowe symetrie osiowe też muszą być liniowe, czyli mieć osie przechodzące przez \(\displaystyle{ (0,0)}\)?

[wiedzmac]

Dołączę się do tematu i zadam pytanie.
Czy jak mamy izometrię w dowolnym wymiarze to czy wyznacznik dalej jest równy \(\displaystyle{ \pm 1}\) ?

[szw1710]

Tak. Twierdzenie z książki Łojasiewicza mówi o odwzorowaniach liniowych \(\displaystyle{ T:\RR^n\to\RR^n}\). A izometria zachowuje miarę zbioru (mierzalnego).

[Spektralny]

Po pierwsze musimy sobie zadać pytanie czym jest wyznacznik? Niech \(\displaystyle{ c_1, \ldots c_n \in \mathbb{R}^n}\) będą (pionowymi) wektorami. Ustawmy je w macierz

\(\displaystyle{ A=[ c_1 \; c_2\; \ldots \;c_n].}\)

(Każda macierz kwadratowa jest tej postaci.) Wówczas \(\displaystyle{ \det A}\) to zorientowania \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa objętość równoległościanu generowanego przez wektory \(\displaystyle{ c_1, \ldots, c_n}\).

Pomyślmy teraz o izometrii \(\displaystyle{ A}\). Twierdzę, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest ortogonalna, tj. \(\displaystyle{ A^T A = I}\). Istotnie, dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}^n}\) mamy

\(\displaystyle{ \langle Ax,Ay\rangle=\frac{1}{2}\left[\|A(x+y)\|^2-\|A(x-y)\|^2\right]=\frac{1}{2}\left[\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right]=\langle x,y\rangle}\)

skąd

\(\displaystyle{ \langle A^TA x, y\rangle = \langle x,y\rangle,}\)

czyli \(\displaystyle{ A^TA=I}\).

Ustalmy teraz naszą ulubioną bazę ortonormalną w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), tj. bazę kanoniczną \(\displaystyle{ e_1, \ldots, e_n}\). Zauważmy, że

\(\displaystyle{ A = [Ae_1\; \ldots\; Ae_n].}\)

Czym jest równoległościan generowany przez \(\displaystyle{ Ae_1, \ldots, Ae_n}\)? To pewien \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowy sześcian, którego \(\displaystyle{ k}\)-ty bok ma długość \(\displaystyle{ \|Ae_k\| = 1}\), a zatem jego (niezorientowana) \(\displaystyle{ n}\)-wymiarowa objętość, czyli \(\displaystyle{ |\det A|}\), wynosi

\(\displaystyle{ \|Ae_1 \|\cdot\|Ae_2\|\cdot \ldots \cdot \|Ae_n\| = 1^n = 1.}\)

Stąd \(\displaystyle{ \det A \in \{-1, 1\}}\).

[Dasio11]

Można też inaczej: skoro ogólnie \(\displaystyle{ \det AB = \det A \cdot \det B,}\) to

\(\displaystyle{ ( \det A )^2 = \det A^{\top} \cdot \det A = \det A^{\top} A = \det I = 1,}\)

więc \(\displaystyle{ \det A = 1}\) lub \(\displaystyle{ \det A = -1.}\)