Baza przestrzeni liniowej

[cukierek55]

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K zaś U,W,Z jej podprzestrzeniami takimi, że \(\displaystyle{ V=Z\oplus W=Z\oplus U}\). Niech \(\displaystyle{ \beta _1 ,..., \beta _k}\) będzie bazą podprzestrzeni U. Zgodnie z definicją sumy prostej \(\displaystyle{ \beta _i=\gamma _i+\delta _i}\), gdzie \(\displaystyle{ \gamma _i \in Z, \delta _i \in W}\) , \(\displaystyle{ 1 \le i \le k}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \delta _1 ,...,\delta _k}\) jest bazą przestrzeni W.

Próbowałam korzystać z definicji bazy i sumy prostej itd., jednak dalej nie potrafię tego udowodnić

[sebnorth]

\(\displaystyle{ a_1 \delta_1 + \ldots + a_k\delta_k = 0}\)

dodamy obustronnie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i \gamma_i}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} (a_i \delta_i + a_i \gamma_i) = \sum_{i=1}^{k} a_i \gamma_i}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} a_i\beta_i = \sum_{i=1}^{k} a_i \gamma_i}\)

\(\displaystyle{ U \cap W = 0}\)

zatem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k}a_i \beta_i = 0}\)

zatem \(\displaystyle{ a_i = 0}\) dla \(\displaystyle{ i = 1, \ldots, k}\)

Pokazaliśmy, że wektory \(\displaystyle{ \delta_i}\) tworzą układ wektorów niezależnych

\(\displaystyle{ k = \dim lin(\{ \delta_i, i = 1, \ldots, k\}) \leq \dim W = \dim V - \dim Z = \dim U = k}\)

zatem \(\displaystyle{ lin(\{ \delta_i, i = 1, \ldots, k\}) = W}\) czyli wektory \(\displaystyle{ \delta_i, i = 1, \ldots, k}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ W}\).

[cukierek55]

Dlaczego \(\displaystyle{ U \cap W=0}\)?

[sebnorth]

Literowka, powinno być przekrój U i Z.