Baza przeciwobrazu podprzestrzeni

[mmk123456]

Niech przekształcenie liniowe będzie opisane takim wzorem:
\(\displaystyle{ \epsilon([x_1,x_2,x_3,x_4])=[x_1+x_3+x_4, -x_2-x_4,x_1+x_2+x_3+2x_4].}\)
Znajdź bazę przeciwobrazu \(\displaystyle{ \epsilon ^{-1}(W)}\) podprzestrzeni W \(\displaystyle{ W=lin([1,1,1], [3,2,1])\subset \mathbb{R}^3}\). Co z tym da radę zrobić, bo ja się pogubiłem?

[lukasz1804]

Skorzystaj z definicji przeciwobrazu.

\(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]\in\epsilon^{-1}(W)\iff [x_1+x_3+x_4,-x_2-x_4,x_1+x_2+x_3+2x_4]\in W\iff (x_1+x_3+x_4=u+3v\wedge -x_2-x_4=u+2v\wedge x_1+x_2+x_3+2x_4=u+v)}\)

Wyznacz teraz \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,x_4}\) w zależności od \(\displaystyle{ u,v}\). Wtedy łatwo odczytasz wektory bazowe zbioru \(\displaystyle{ \epsilon^{-1}(W)}\).