Macierz endomorfizmu, wartości i podprzestrzenie własne

[obojetnie_jak]

Niech \(\displaystyle{ B = ( e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} )}\) będzie bazą kanoniczną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) oraz niech f bedzie endomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{4}}\) spełniającym warunki:
dla \(\displaystyle{ i=1, 2, 3 , 4}\), \(\displaystyle{ f(e_{i})= e_{1} + e_{2} + e_{3}+ e_{4}}\)
a) podać macierz endomorfizmu f względem bazy B
b)znaleźć \(\displaystyle{ \Im f, \dim \Im f, \ker f}\) oraz bazę \(\displaystyle{ \ker f}\)
c) Wyznaczyć wartości własne i podprzestrzenie własne endomorfizmu f; Czy f jest diagonalizowalny?

[Kacperdev]

Coś zacząłeś?
Jak będzię wyglądać macierz? Zobacz na co przechodzi kazdy wektor bazowy.

[obojetnie_jak]

to będzie macierz 4x4 z samych jedynek?

[Kacperdev]

Tak. Spróbuj teraz pomyśleć jak będzie wyglądać wzór jawny tego endomorfizmu.

[obojetnie_jak]

Może:
\(\displaystyle{ f(x, y, z, t)= (x+y+z+t, x+y+z+t, x+y+z+t, x+y+z+t)}\) ?

[Kacperdev]

Tak. No to teraz już chyba łatwo ruszyć dalej zadanie bo:

\(\displaystyle{ f(x, y, z, t)= (x+y+z+t, x+y+z+t, x+y+z+t, x+y+z+t) = x(1,1,1,1)+y(1,1,1,1)+z(1,1,1,1)+t(1,1,1,1)}\)

stąd już wynika jaki będzie obraz oraz jego wymiar (sam wymiar można było z rzędu macierzy określić).

Jądro układem równań.

[obojetnie_jak]

Dzięki, jak będę miał jeszcze jakieś problemy to dam znać

-- 17 gru 2014, o 18:18 --

a jak się wyznacza własności własne i podprzestrzenie własne?-- 17 gru 2014, o 19:24 --a jak zrobić podpunkt c?

[Kacperdev]

Mając macierz przekształcenia wystarczy zastosować wzór wszędzie dostępny, na wartości własne. Mając wartości własne można już też odpowiedzieć na pytanie o diagonalizacje.

[obojetnie_jak]

chodzi Ci o to z wyznacznikiem?-- 17 gru 2014, o 21:44 --Mógłby mi ktoś napisać jak krok po kroku to zrobić? Błagam

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ Ax=\lambda x \Leftrightarrow \left( A- \lambda I \right)x=0}\)

a to oznacza: \(\displaystyle{ \det\left( A- \lambda I \right)=0}\)