Jądro i obraz odwzorowania liniowego

[rafcio_100]

Znajdź \(\displaystyle{ Ker f}\), \(\displaystyle{ Im f}\), ich wymiary oraz bazy dla następujących odwzorowań liniowych:

a) \(\displaystyle{ f( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})=(x_{1}+ x_{2}+ x_{3}- x_{4}, 2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}, x_{2}+3x_{3}-3x_{4})}\)

Więc teraz zapisuję:

\(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}}\)
\(\displaystyle{ Ker f: ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+ x_{2}+ x_{3}- x_{4}=0 \\ 2x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+3x_{3}-3x_{4}=0 \end{cases}}\)

Z 1 i 2 równania wynika \(\displaystyle{ x_{1}=- \frac{2}{3}x_{2}}\)

Jeśli teraz do drugiego równania za \(\displaystyle{ x_{1}}\) podstawię wyznaczone \(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x_{2}}\), to drugie równanie przemnożone obustronnie przez \(\displaystyle{ 3}\) po dodaniu stronami z trzecim daje \(\displaystyle{ 0=0}\). I w tym miejscu pojawia się mój problem, co dalej? Proszę o pomoc.

[sebnorth]

Jeśli teraz do drugiego równania za \(\displaystyle{ x_{1}}\) podstawię wyznaczone \(\displaystyle{ - \frac{2}{3}x_{2}}\), to drugie równanie przemnożone obustronnie przez \(\displaystyle{ 3}\) po dodaniu stronami z trzecim daje \(\displaystyle{ 0=0}\)

ja po tym podstawieniu dostałem drugie równanie inne: \(\displaystyle{ -x_2 -3x_3 + 3x_4 = 0}\)

Jeśli zastosujesz metodę eliminacji Gaussa to na końcu otrzymasz rozwiązanie:

\(\displaystyle{ x_1 = -2x_4, x_2 = 3x_4, x_3 = 0, x_4}\) dowolne

[rafcio_100]

Dziękuję, ja też otrzymałem takie równanie i tak jak pisałem, po dodaniu stronami z trzecim otrzymujemy \(\displaystyle{ 0=0}\)

[sebnorth]

poprawka, jeszcze raz policzyłem Gaussem:

\(\displaystyle{ x_1 = 2x_3 - 2x_4, x_2 = -3x_3 + 3x_4, x_3, x_4}\) dowolne

rząd macierzy wychodzi \(\displaystyle{ 2}\), zatem musi być \(\displaystyle{ 4-2 =2}\) parametrów

[rafcio_100]

A więc wymiar jądra będzie 2. Jak teraz mam znaleźć obraz, jego wymiar i bazy?