Składanie cykli, permutacje itp.

[ms7]

Dobry wieczór.
Jako że dzisiaj na wykładzie miałem permutacje, cykle i ich składanie, mam w związku z tym kilka pytań o te zagadnienia, zwłaszcza o składanie cykli.


Ogólnie wiem jak składać cykle, np. \(\displaystyle{ (2 4 3)(1 3 4)= {1 2 3 4 \choose 2 4 3 1}=(124)}\), ale na wykładzie często pomijaliśmy 'tabelkę' i pisaliśmy od razu \(\displaystyle{ (2 4 3)(1 3 4)=(124)}\), pytanie tylko jak to zrobić bez tabelki?

Mam pewien pomysł tylko nie wiem czy dobry:
jeśli mam złożyć \(\displaystyle{ (1 3 4)(2 4 3)}\) to biorę \(\displaystyle{ 1}\) i patrzę że \(\displaystyle{ 1->1->1->3}\)
więc zapisuję że \(\displaystyle{ (1,3}\) później patrzę że \(\displaystyle{ 3->2->2->2}\) więc dopisuję \(\displaystyle{ (1,3,2}\), następnie sprawdzam że \(\displaystyle{ 2->4->4->1}\) więc zamykam cykl \(\displaystyle{ (1,3,2)}\) bo jedynka już by się powtórzyła.

Sprawdziłem na kilku przykładach i działało dopóki nie próbowałem złożyć \(\displaystyle{ (12)(34)}\). Zgodnie z tym co napisałem wyżej, miałbym \(\displaystyle{ (12)}\), ponieważ \(\displaystyle{ 1->1->1->2}\), następnie \(\displaystyle{ 2->2->2->1}\), więc zamykam cykl, lecz to nie zgadza się z tabelką, która wygląda tak: \(\displaystyle{ {1234 \choose 2143}}\) i nie wiem czy to jest cykl czy nie.

Pytanie kolejne, to czy metoda 'bez tabelki' którą opisałem jest skuteczna, oraz czy każdy cykl można złożyć(ewentualnie czy metoda 'bez tabelki' działa dla cykli które da się złożyć i jak rozpoznać takie cykle)?

Mam nadzieję że nie zagmatwałem sprawy zbyt mocno.

[a4karo]

POmysł dobry, ale nie każda permutacja jest cyklem. I zgadza się z tabelką.

[ms7]

Dziękuję. Pytanie jeszcze czy bez tabelki można stwierdzić czy permutacja jest cyklem?

[a4karo]

Tabelka to pełny opis permutacji. Jeżeli chcesz badać własności permutacji, to warto znać jej wartości dla każdego argumentu, inaczej mówiąc - tabelkę.