Odwzorowanie liniowe.

[dawhyp]

Dobry wieczór,
mam odrobinę kłopotów z dajmy na to takim przykładem:

Niech \(\displaystyle{ A = \mathbb{R}_{5}[x]}\) będzie przestrzenią wielomianów rzeczywistych stopnia 5, oraz \(\displaystyle{ F: A \rightarrow A}\) zadane wzorem: \(\displaystyle{ F(f) = f(x+1), f \in A}\), gdzie " \(\displaystyle{ f(x+1)}\)" oznacza podstawianie.

Tutaj moje pierwsze pytanie: Skoro A jest przestrzenią wektorową, to musi być nad jakimś ciałem tak? I tutaj skoro są to wielomiany rzeczywiste to będzie to ciało l. rzeczywistych, czy jednak trzeba uściślić ?

Drugie pytanie: Co oznacza ten termin "oznacza podstawianie"? Polega to na podstawieniu we wzorze funkcji zamiast \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ x+1}\), tak? Czy jednak ten termin ma swoje inne znaczenie?

I mam jeszcze jedno pytanie odnośnie tego czy odwzorowanie to jest liniowe. Czy moje sprawdzenie drugiego warunku jest poprawne?

\(\displaystyle{ F( \alpha f ) = (\alpha f)(x+1) = \alpha \cdot f(x+1) = \alpha F(f)}\)

Wydaje mi się, że coś za szybko to zrobiłem i pewnie gdzieś jest błąd.

[szw1710]

Stosujesz niepoprawny zapis tego odwzorowania. Ja go rozumiem, ale to nie jest dobrze. Proponuję tak: \(\displaystyle{ F(f)}\) jest też wielomianem, więc liczy się jego wartości w punktach \(\displaystyle{ x}\). Dlatego zapisuję:

\(\displaystyle{ F(f)(x)=f(x+1)}\). Teraz sprawdzam warunek jednorodności: dla ustalonego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) mamy

\(\displaystyle{ F(\alpha f)(x)=(\alpha f)(x+1)=\alpha\cdot f(x+1)=\alpha F(f)(x)}\), więc \(\displaystyle{ F(\alpha f)=\alpha F(f)}\).

Podobnie sprawdź addytywność.

A teraz zupełnie cię zmylę. Poniższy zapis też jest poprawny. Niech \(\displaystyle{ G:A\to\RR}\) będzie dane wzorem: \(\displaystyle{ G(f)=f(1)}\). Pokaż, że to też jest odwzorowanie liniowe.

[dawhyp]

Z tym, że taki zapis mam podany w zadaniu, tj. \(\displaystyle{ F(f) = f(x+1)}\), dlatego też wzorowałem się na tym. Ale dziękuję za odpowiedź, podpisuję sobie jeszcze to \(\displaystyle{ (x)}\). Addytywność będzie wyglądała tak?

\(\displaystyle{ F(f+g)(x) = (f+g)(x+1) = f(x+1)+g(x+1) = F(f)(x) + F(g)(x)}\)

[szw1710]

Tak. Więc stąd wnioskujemy, że \(\displaystyle{ F(f+g)=F(f)+F(g)}\).

Twój zapis (w formie wyjściowej, jak napisałeś) przy pewnej dozie wyrozumiałości jest dopuszczalny. Mniej więcej wiadomo, o co tam chodzi i matematycy stosują go w swoim żargonie. Ale dla studentów mówienie żargonem jest zabronione. Przynajmniej wobec prowadzących zajęcia.

Zrób moje ćwiczenie dodatkowe. Dopisałem je do poprzedniego posta.

[dawhyp]

Czyli najpierw addytywność.

\(\displaystyle{ G(f + g) = (f+g)(1) = f(1) + g(1) = G(f) + G(g)}\)

\(\displaystyle{ G(\alpha f) = (\alpha f)(1) = \alpha \cdot f(1) = \alpha \cdot G(f)}\)

I tutaj już nie muszę pisać tego \(\displaystyle{ (x)}\) tak?

[szw1710]

Właśnie o to chodzi, że tu nawet nie można, bo masz odwzorowanie liniowe w inną przestrzeń i jego wartości są liczbami. Przecież \(\displaystyle{ f(1)\in\RR}\). Dlatego pisałem o zmyłce.

Odwzorowanie liniowe z przestrzeni liniowej w ciało jej skalarów nazywamy funkcjonałem liniowym.

[dawhyp]

No tak, już rozumiem. Dziękuję bardzo!