Proszę o pomoc. Mam do odwrócenia macierz metodą Gaussa-Jordana:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2i&i&1-i\\i&-i&0\\3&0&1+i\end{array}\right]}\)
Już piaty raz ją próbuję ugryźć i za każdym razem otrzymuje inny, zły wynik.
Odwracanie macierzy 3x3
-
kubitus2
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 6 wrz 2014, o 12:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Podziękował: 3 razy
Odwracanie macierzy 3x3
N to tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2i&i&1-i&1&0&0\\i&-i&0&0&1&0\\3&0&1+i&0&0&1\end{array}\right] \xrightarrow[]{R1+R2}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\i&-i&0&0&1&0\\3&0&1+i&0&0&1\end{array}\right] \xrightarrow[R3-R1/i]{R2-R1/3}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&1+i- \frac{1-i}{i}&-\frac{1}{i}&-\frac{1}{i}&1 \end{array}\right]
\xrightarrow[]{}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&\frac{2i-2}{i}&-\frac{1}{i}&-\frac{1}{i}&1 \end{array}\right]
\xrightarrow[]{R3\frac{i}{2i-2}}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]
\xrightarrow[R2-R3\frac{3}{i-1}]{R1-R3(1+i)}
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&0&1+\frac{1+i}{2i-2}&1+\frac{1+i}{2i-2}&\frac{i-1}{2i-2}\\0&-i& 0&-\frac{1}{3}-\frac{3}{4i}&\frac{2}{3}-\frac{3}{4i}&\frac{3}{4} \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]
\xrightarrow[R1/3i]{i*R2}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{i-1}{-6-6i}\\0&1& 0&\frac{4i+9}{3}&\frac{8i+18}{3}&-\frac{3i}{4} \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]}\)
Zatem wychodzi mi, że \(\displaystyle{ A ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{i-1}{-6-6i}\\\frac{4i+9}{3}&\frac{8i+18}{3}&-\frac{3i}{4}\\-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2}\end{array}\right]}\). Jednak Wolphram Alpha podpowiada, że poprawna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ A ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-0.166667i&-0.166667i&-0.166667\\-0.166667i&0.83333&0.166667\\\frac{1+i}{4}&\frac{1+i}{4}&\frac{1+i}{4}\end{array}\right]}\)
Myślę, że dałoby się to zrobić sprytniej. W takim gąszczu obliczeń zapewne roi się od pomyłek .
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}2i&i&1-i&1&0&0\\i&-i&0&0&1&0\\3&0&1+i&0&0&1\end{array}\right] \xrightarrow[]{R1+R2}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\i&-i&0&0&1&0\\3&0&1+i&0&0&1\end{array}\right] \xrightarrow[R3-R1/i]{R2-R1/3}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&1+i- \frac{1-i}{i}&-\frac{1}{i}&-\frac{1}{i}&1 \end{array}\right]
\xrightarrow[]{}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&\frac{2i-2}{i}&-\frac{1}{i}&-\frac{1}{i}&1 \end{array}\right]
\xrightarrow[]{R3\frac{i}{2i-2}}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&1-i&1&1&0\\0&-i& \frac{i-1}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&0 \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]
\xrightarrow[R2-R3\frac{3}{i-1}]{R1-R3(1+i)}
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}3i&0&0&1+\frac{1+i}{2i-2}&1+\frac{1+i}{2i-2}&\frac{i-1}{2i-2}\\0&-i& 0&-\frac{1}{3}-\frac{3}{4i}&\frac{2}{3}-\frac{3}{4i}&\frac{3}{4} \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]
\xrightarrow[R1/3i]{i*R2}
\newline
\newline
\left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{i-1}{-6-6i}\\0&1& 0&\frac{4i+9}{3}&\frac{8i+18}{3}&-\frac{3i}{4} \\0&0&1&-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2} \end{array}\right]}\)
Zatem wychodzi mi, że \(\displaystyle{ A ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{3i-1}{-6-6i}&\frac{i-1}{-6-6i}\\\frac{4i+9}{3}&\frac{8i+18}{3}&-\frac{3i}{4}\\-\frac{1}{2i-2}&-\frac{1}{2i-2}&\frac{i}{2i-2}\end{array}\right]}\). Jednak Wolphram Alpha podpowiada, że poprawna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ A ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}-0.166667i&-0.166667i&-0.166667\\-0.166667i&0.83333&0.166667\\\frac{1+i}{4}&\frac{1+i}{4}&\frac{1+i}{4}\end{array}\right]}\)
Myślę, że dałoby się to zrobić sprytniej. W takim gąszczu obliczeń zapewne roi się od pomyłek .