Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
radeck0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 14 paź 2014, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Post autor: radeck0 »

1. Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f \in L(\mathbb{R}[t]_2, \mathbb{R}[t]_3):}\)
\(\displaystyle{ (f(p))(t) = p'(1)t^3 + (1-2t)(p(t) - p(0))}\)
a) Zapisz macierz \(\displaystyle{ f}\) w bazach \(\displaystyle{ 1 + 2t, 1-t, 2-t +3t^2}\) (dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_2}\)) i \(\displaystyle{ 1, t, t^2, t^3}\) (dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_3}\))
b) Wyznacz bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ im f}\) oraz \(\displaystyle{ ker f}\).

2. Dla danej macierzy \(\displaystyle{ B \in \mathbb{C}^{n,n}}\) określamy funkcję \(\displaystyle{ f: \mathbb{C}^{n,n} \rightarrow \mathbb{C}^{n,n}}\) wzorem:
\(\displaystyle{ f(A) = B^H AB}\)
a) Pokaż, że \(\displaystyle{ f \in L(\mathbb{C}^{n,n},\mathbb{C}^{n,n}).}\)
b) Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją wtw, gdy macierz \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa.

Jak powinienem się za to zabrać?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Post autor: bartek118 »

1.
a) Najlepiej zacząć od definicji macierzy.
b) Eliminacja Gaussa macierzy odwzorowania załatwia sprawę.

2.
a) Definicja odwzorowania liniowego.
b) Gdy \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa, wskaż odwzorowanie odwrotne. Gdy \(\displaystyle{ B}\) jest osobliwa, wykaż że jądro przekształcenia ma wymiar przynajmniej 1.
radeck0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 14 paź 2014, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Post autor: radeck0 »

1. No z Gaussem sobie raczej poradzę, ale zastanawiam się jak stworzyć z tego macierz.

2. a), a tu?
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Post autor: bartek118 »

1. Z definicji macierzy przekształcenia.

2 a) Znasz warunki na odwzorowanie liniowe?
radeck0
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 14 paź 2014, o 16:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Bazy podprzestrzeni, przekształcenie liniowe.

Post autor: radeck0 »

Okej, ale jak uporać się z:

\(\displaystyle{ (f(p))(t)}\)
ODPOWIEDZ