a) Zapisz macierz \(\displaystyle{ f}\) w bazach \(\displaystyle{ 1 + 2t, 1-t, 2-t +3t^2}\) (dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_2}\)) i \(\displaystyle{ 1, t, t^2, t^3}\) (dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}[x]_3}\))
b) Wyznacz bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ im f}\) oraz \(\displaystyle{ ker f}\).
2. Dla danej macierzy \(\displaystyle{ B \in \mathbb{C}^{n,n}}\) określamy funkcję \(\displaystyle{ f: \mathbb{C}^{n,n} \rightarrow \mathbb{C}^{n,n}}\) wzorem:
\(\displaystyle{ f(A) = B^H AB}\)
a) Pokaż, że \(\displaystyle{ f \in L(\mathbb{C}^{n,n},\mathbb{C}^{n,n}).}\)
b) Pokaż, że \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją wtw, gdy macierz \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa.
1.
a) Najlepiej zacząć od definicji macierzy.
b) Eliminacja Gaussa macierzy odwzorowania załatwia sprawę.
2.
a) Definicja odwzorowania liniowego.
b) Gdy \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa, wskaż odwzorowanie odwrotne. Gdy \(\displaystyle{ B}\) jest osobliwa, wykaż że jądro przekształcenia ma wymiar przynajmniej 1.