Udowodnić, że wielomiany \(\displaystyle{ w_1(x)=x^2 +2, w_2(x)=x^2+x, w_3(x)=2x^2-x+3}\) stanowią bazę przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ \mathbb R[x]_2}\). Wyznaczyć współrzędne wektora \(\displaystyle{ w(x)=x^2-4}\) w bazie \(\displaystyle{ (w_1,w_2,w_3)}\)
Czy wystraczy pokazać, że są liniowo niezależne ? :
Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \alpha w_1(x) + \beta w_2(x) + \gamma w_3(x) = \vec{0}}\)
Po uproszczeniu :
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha + \beta +2\gamma = 0 \\ \beta - \gamma=0 \\ 2\alpha +3\gamma =0
\end{cases}}\)
dostajemy :
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha =0 \\ \beta = 0 \\ \gamma = 0 \end{cases}}\)
Są liniowo niezależne.
Teraz dodatkowo wiem, że wymiar w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb R[x]_2}\)jest równy \(\displaystyle{ 3}\), zatem
Wielomiany \(\displaystyle{ w_1(x), w_2(x), w_3(x)}\)
Tworzą bazę \(\displaystyle{ B=\{x^2 +2,x^2+x,2x^2-x+3\}}\)
Teraz szukam wektora \(\displaystyle{ w(x)}\) w tej bazie :
\(\displaystyle{ x^2(\alpha + \beta +2\gamma) + x(\beta - \gamma) +2\alpha + 3\gamma = x^2 - 4}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +\beta + 2\gamma = 1 \\ \beta - \gamma = 0 \\ 2\alpha +3\gamma = -4 \end{cases}}\)
Po wyliczeniu :
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha = -5 \\ \beta = 2 \\ \gamma =2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ w(x)=\left[ -5,2,2\right] _B}\)
Czy dobrze to zrobiłem? Szczególnie mam na myśli udowodnienie, że te wielomiany tworzą bazę (pokazałem, że są liniowo niezależne oraz, że wymiar w tej podprzestrzeni ma wynosić \(\displaystyle{ 3}\))