Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: blade »

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\)
a)
\(\displaystyle{ W=\{w\in \mahtbb R[x]: w(-1)w(1)=0\} gdzie V=\mathbb R[x]}\)
Niech
\(\displaystyle{ u,v \in W\\
u(-1)u(1)=0 \\
v(-1)v(1)=0\\
(u+v)(-1)\cdot(u+v)(1)=\(u(1) + v(1)\) \cdot \(u(-1) + v(-1)\) = u(1)u(-1) + v(1)v(-1) +u(1)v(-1) + u(-1)v(1) = 0 + 0 + u(1)v(-1) + u(-1)v(1) \neq 0}\)

czyli \(\displaystyle{ u +v \notin W}\)
\(\displaystyle{ W}\) nie stanowi podprzestrzeni liniowej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\)
Dobrze ?
b)
\(\displaystyle{ U=\{w\in \mathbb R[x]_3 : w(0) -w'(1) = 0 \wedge w''(-x) +xw'''(x) \equiv 0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ V=\mathbb R[x]_3}\)
Niech \(\displaystyle{ u,v \in \mathbb R[x]_3}\)
\(\displaystyle{ u(0) -u'(1) = 0 \wedge u''(-x) +xu'''(x) \equiv 0 \\
v(0) -v'(1) = 0 \wedge v''(-x) +xv'''(x) \equiv 0}\)


\(\displaystyle{ (u+v)(0) -(u+v)'(1) = u(0) + v(0) - u'(1) - v'(1) =u(0)- u'(1)+ v(0)- v'(1)=0}\)
\(\displaystyle{ (u+v)''(-x) +x(u+v)'''(x) = u''(-x) + v''(-x) + xu'''(x) + xv'''(x)=\\=u''(-x)+ xu'''(x)+ v''(-x) +xv'''(x) \equiv 0}\)

Niech \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb R}\)
\(\displaystyle{ \left( \alpha \cdot u\right)(0) - (\alpha\cdot u)'(1)= \alpha \cdot u(0) - \alpha \cdot u'(1)= \alpha(u(0) -u'(1)) = \alpha \cdot 0 = 0}\)

\(\displaystyle{ (\alpha \cdot u)''(-x) +x(\alpha \cdot u)'''(x) = \alpha \cdot u''(-x) + \alpha\cdot x \cdot u'''(x)= \alpha(u''(-x) + xu'''(x))\equiv \alpha \cdot 0 \equiv 0}\)

\(\displaystyle{ U}\) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\)

Druga część - wyznaczyć bazę i wymiar danej podprzestrzeni :
\(\displaystyle{ w(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d}\)
\(\displaystyle{ w(0) - w'(1) =0 :\\
d - 3a - 2b -c =0 \rightarrow d=3a +2b+c\\
w''(-x) +xw'''(x) \equiv 0\\
(w'(x))'=(3ax^2 + 2bx + c)' = 6ax + 2b\\
((w(x)')')'=(6ax+2b)'=6a\\
-6ax+2b +6ax \equiv 0\\
b \equiv 0\\
d=3a +c}\)

więc \(\displaystyle{ w(x) = ax^3 +bx^2 + cx + 3a +c = a(x^3 +3) +bx^2 +c(x+1)}\)
\(\displaystyle{ U=\lin \{x^3 +3, x^2, x+1\}}\)
Są liniowo nie zależne (bo są róznego stopnia), zatem :
\(\displaystyle{ B_U=\{x^3 +3, x^2, x+1\}}\) ; \(\displaystyle{ \dim B_U = 3}\)

Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność wykonanego zadania ?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: Medea 2 »

Zawile. Nie łatwiej podać kontrprzykład? \(\displaystyle{ x+1}\) i \(\displaystyle{ x-1}\) są w \(\displaystyle{ W}\) (\(\displaystyle{ W}\) to zbiór wielomianów zerujących się w \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\)), ale ich suma to \(\displaystyle{ 2x}\) i nie należy do \(\displaystyle{ W}\).
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: blade »

Medea 2 pisze:Zawile.
Robiłem to z definicji, ja nie wiedziałem od początku, że to nie jest podprzestrzeń liniowa, więc nie szukałem kontrprzykładu
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: Medea 2 »

Gdybyś jednak dostał takie zadanie na kolokwium, to nie chcesz zakopać się w rachunkach. Poza tym zrobiłeś źle: może się zdarzyć, że suma wielomianów z \(\displaystyle{ W}\) jest w \(\displaystyle{ W}\), na przykład \(\displaystyle{ x^2 - 1}\) i \(\displaystyle{ x^4 - 1}\).

Drugi przykład też strasznie okrężnie... \(\displaystyle{ W}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^3 + cx + (3a + c)}\), więc tworzą przestrzeń liniową. Od razu widać też bazę. Ty wyznaczyłeś ją źle - \(\displaystyle{ x^2}\) nie ma nawet w \(\displaystyle{ W}\), bo \(\displaystyle{ 0^2 - 2 \cdot 1 \neq 0}\)!
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: blade »

Medea 2 pisze: \(\displaystyle{ W}\) to wielomiany postaci \(\displaystyle{ ax^3 + cx + (3a + c)}\)
Nie rozumiem, dlaczego ?
Awatar użytkownika
Medea 2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2491
Rejestracja: 30 lis 2014, o 11:03
Płeć: Kobieta
Podziękował: 23 razy
Pomógł: 479 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: Medea 2 »

Bo \(\displaystyle{ b = 0}\), zaś \(\displaystyle{ d = 3a+c}\). Sam tak napisałeś
blade
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 809
Rejestracja: 3 cze 2014, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 586 razy
Pomógł: 16 razy

Zbadać czy dany zbiór stanowi podprzestrzeń liniową

Post autor: blade »

ahh, rzeczywiście, zgubiłem to \(\displaystyle{ b = 0}\) później, dzięki
ODPOWIEDZ