Rozwiązanie układu.

[robertos18]

Rozwiąz następujący układ równać liniowych oraz stowarzyszony z nim układ jednorody.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1} + x _{2}+x _{3} - x _{7}=1 \\ x _{1} + x _{2}+x _{3} + x _{5}=1 \\ 3x _{1} + 3x _{2}+3x _{3} + x _{4}+x _{5}+ 2x _{6} - x _{7}=2 \end{cases}}\)

Wykonałem eliminacje Gaussa:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1&0&0&0&-1&1\\0&0&0&1&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&2&1&-1\end{bmatrix}}\)
Liczba współczynników wiodących wynosi: \(\displaystyle{ 3}\), zatem mamy \(\displaystyle{ 7 - 3 = 4}\) parametry. Pytanie o które parametry chodzi teraz ?

[szw1710]

Kolumny \(\displaystyle{ x_3,x_4,x_6}\) tworzą macierz diagonalną, więc to mogą być zmienne, a wobec tego \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_5,x_7}\) mogą być parametrami. Są też i inne możliwości. Zmiennymi mogą być tylko te, przy których wyznacznik jest niezerowy. Więc nie mogą być zmiennymi (jednocześnie) np. \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\).

[robertos18]

Wyznacznik należy obliczyć czy można goo dczytać z macierzy?

[szw1710]

Wystarczy odczytać.

[robertos18]

Mógłby Pan mi napisać gdzie jest ten wyznacznik ?

[szw1710]

Użyłem skrótu myślowego. Ustawiasz kolumny odpowiadające poszczególnym niewiadomym (tu w zespołach po trzy) w macierz i liczysz jej wyznacznik. O to chodzi. Masz różne zespoły po trzy niewiadome. Dokładniej jest ich \(\displaystyle{ \binom{7}{3}=35}\). Nie wszystkie zespoły mogą służyć za niewiadome. Mogą to być tylko te, których wyznacznik jest niezerowy.