Uzasadnić, że podany zbiór jest przestrzenią wektorową

[blade]

Uzasadnić z definicji,że podany zbiór \(\displaystyle{ W}\) jest przestrzenią wektorową :
\(\displaystyle{ W=\mathbb R[x]_3}\) wraz z dodawaniem wielomianów i mnożeniem przez liczby rzeczywiste

Zrobiłem tak :
Niech :
\(\displaystyle{ f_1(x),f_2(x),f_3(x) \in R[x]_3}\)
odpowiednio,
\(\displaystyle{ f_1(x)=a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\\
f_2(x)=a_2x^3 +b_2x^2 +c_2x +d_2\\
f_3(x)=a_3x^3 +b_3x^2 +c_3x +d_3}\)
0.
przemienność :
\(\displaystyle{ f_1(x) + f_2(x) = f_2(x) +f_1(x)}\)
łączność :
\(\displaystyle{ \left( f_1(x) + f_2(x)\right) +f_3(x) = x^3(a_1 +a_2 +a_3) + x^2(b_1+b_2+b_3) +x(c_1+c_2+c_3) +d_1 +d_2 +d_3 = f_1(x) +\left( f_2(x) +f_3(x)\right)}\)
element neutralny :
\(\displaystyle{ f_1(x) + e = f_1(x) \Leftrightarrow e=0}\)
element symetryczny:
\(\displaystyle{ f_1(x) + f_1(x)' = e = 0 \Leftrightarrow f_1(x)'=-f_1(x)}\)
Czyli jest grupą abelową (z przemiennością)

Niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb R}\) oraz \(\displaystyle{ f_1(x), f_2(x) \in R[x]_3}\) tak jak wyżej.

1.
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left( \beta \cdot f_1(x)\right) = \alpha \cdot \left( \beta \cdot \left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) \right) = \alpha \cdot \left( \beta a_1x^3 +\beta b_1x^2 +\beta c_1x +\beta d_1\right)=\alpha \beta a_1x^3 +\alpha \beta b_1x^2 +\alpha \beta c_1x +\alpha \beta d_1=\left( \alpha \cdot \beta\right) \cdot \left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) = \\= \left( \alpha \cdot \beta \right) \cdot f_1(x)}\)

2.
\(\displaystyle{ \left( \alpha + \beta\right) \cdot f_1(x) = \left( \alpha + \beta\right) \cdot \left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) = \alpha a_1x^3 +\alpha b_1x^2 + \alpha c_1x + \alpha d_1 + \beta a_1x^3 +\beta b_1x^2 +\beta c_1x + \beta d_1= \alpha \cdot f_1(x) + \beta \cdot f_1(x)}\)

3.
\(\displaystyle{ \alpha(f_1(x) + f_2(x)) = \alpha\left( \left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) + \left( a_2x^3 +b_2x^2 +c_2x +d_2\right) \right) = \alpha\left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) + \alpha\left( a_2x^3 +b_2x^2 +c_2x +d_2\right) = \alpha f_1(x) + \alpha f_2(x)}\)

4.
\(\displaystyle{ 1 \cdot f_1(x) = 1 \cdot \left( a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1\right) =a_1x^3 +b_1x^2 +c_1x +d_1= f_1(x)}\)
Zatem z definicji uzasadniłem, że podany zbiór jest przestrzenią wektorową.

Czy to jest dobrze uzasadnione ?

[yorgin]

element neutralny :
\(\displaystyle{ f_1(x) + e = f_1(x) \Leftrightarrow e=0}\)
element symetryczny:
\(\displaystyle{ f_1(x) + f_1(x)' = e = 0 \Leftrightarrow f_1(x)'=-f_1(x)}\)

To nie dowodzi, że istnieje element neutralny oraz istnieje element odwrotny (przeciwny).

Reszta jest bardzo ładnie i poprawnie (z dokładnością do niezauważonych przeze mnie literówek) rozpisana. Powiedziałbym nawet, że lekko przesadziłeś z dokładnością

[blade]

Dziękuję za odpowiedź

element neutralny :
Niech \(\displaystyle{ e\in \mathbb R}\) dowolne :
\(\displaystyle{ f_1(x) + e = f_1(x) \Leftrightarrow e=0}\)
\(\displaystyle{ e=0}\) należy do \(\displaystyle{ \mathbb R}\) - zatem istnieje w tym zbiorze element neutralny
element symetryczny:
\(\displaystyle{ f_1(x) + f_1(x)' = e = 0 \Leftrightarrow f_1(x)'=-f_1(x)}\)
\(\displaystyle{ -f_1(x)}\) należy do \(\displaystyle{ \mathbb R[x]_3}\) - zatem istnieje element symetryczny(odwrotny) w tym zbiorze.

Teraz byłoby dobrze?

[yorgin]

Zapis jest lekko kontrowersyjny. Masz dla danego wielomianu jawnie wskazać wielomian przeciwny oraz jawnie wskazać wielomian neutralny. Nie pisz w tym celu równoważności, które są mylącym zapisem i świadectwem lekkiego niezrozumienia tego, co się pisze.

[blade]

Aha, rozumiem, dzięki