Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: wiedzmac »

Cześć,
Prosiłbym o podpowiedź do następującego zadania:
Ukryta treść:    
Kombinowałem by przemnożyć macierze i wykazać, że wyznaczniki minorów głównych są nieujemne, ale wydaje mi się że to może być ciężkie.
Ostatnio zmieniony 13 gru 2014, o 08:10 przez yorgin, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: Zordon »

Macierze \(\displaystyle{ AB}\) oraz \(\displaystyle{ A^{1/2}BA^{1/2}}\) sa sprzężone. Ta druga jest symetryczna, dodatnio określona.
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: wiedzmac »

Co rozumiesz dokładnie przez \(\displaystyle{ A^{\frac{1}{2}}\)?
Chodzi o macierz w której wszystkie elementy spierwiastkowaliśmy czy o coś innego?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: Zordon »

\(\displaystyle{ A^{1/2}}\) to taka macierz rzeczywista \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ X^2=A}\). Można udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest dodatnio określona, to \(\displaystyle{ A^{1/2}}\) istnieje i można ją wybrać tak by była dodatnio określona.

Macierze \(\displaystyle{ X,Y}\) są sprzężone, jeśli istnieje macierz odwracalna \(\displaystyle{ Z}\) t.że \(\displaystyle{ X=ZYZ^{-1}}\). Sprzężoność oczywiście implikuje posiadanie tych samych wartości własnych.
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: wiedzmac »

Dzięki za wskazówkę. Zastanowię się nad tym.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: Zordon »

Poza tym, nieujemność minorów głównych nie implikuje posiadania nieujemnych wartości własnych.
wiedzmac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 481
Rejestracja: 13 lip 2011, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sucha/Wrocław
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 62 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: wiedzmac »

Ale dodatniość już tak?
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Iloczyn macierzy dodatnio określonych a wartości własne

Post autor: Zordon »

Dodatniość implikuje, przy założeniu, że macierz jest symetryczna.
ODPOWIEDZ