Znajdź jądro oraz obraz.

[Totalq]

Dostałem zadanie: Dane jest przekształcenie liniowe

\(\displaystyle{ \beta: \RR ^{3} \rightarrow \RR[x] _{2}}\) takie, że \(\displaystyle{ \beta ((1, 1, 1)) = 2x ^{2} - 3x,
\beta ((1, 2, 3)) = -3x, \beta ((1, 2, 4)) = 2x ^{2} - 4x.}\)
Wyznaczyc wzór ogólny \(\displaystyle{ \beta ((a, b, c)).}\) Znaleźć jądro,obraz, wymiar obrazu, wymiar jadra.

Wzór przekształcenia znalazłem bez większych ekscesów:

\(\displaystyle{ \beta ((a, b, c)) = x ^{2}(6a-6b+2c)+x(-4a+2b-c)}\)

Ale dalej już nie ogarniam. Skoro potrzebuję jądro to przyrównuje?
\(\displaystyle{ (6a-6b+2c) = 0}\)
\(\displaystyle{ (-4a+2b-c) = 0}\)
Ale wtedy mam rozwiązanie zależne od 2 parametrów, a na zajęciach otrzymaliśmy \(\displaystyle{ B _{ker \beta } = Lin((-1,1,6))}\)

Jak to rozwiązać? Jak otrzymać obraz tego przekształcenia?

[Qń]

\(\displaystyle{ (6a-6b+2c) = 0}\)
\(\displaystyle{ (-4a+2b-c) = 0}\)
Ale wtedy mam rozwiązanie zależne od 2 parametrów

Nie, dlaczego? Parametr będzie tylko jeden.

Q.

[Totalq]

Ah, istotnie, mój błąd. Jądro się zgadza. Dalej nie wiem jednak jak ruszyć obraz w tym zadaniu. Wymiar jądra wynosi 1, więc wymiar obrazu to 2. Tyle wiem na pewno

[Qń]

Skoro \(\displaystyle{ (1, 1, 1),(1, 2, 3),(1, 2, 4)}\) są bazą przestrzeni wyjściowej, to obrazem przekształcenia jest przestrzeń rozpięta na \(\displaystyle{ \beta ((1, 1, 1)) , \beta ((1, 2, 3)) , \beta ((1, 2, 4))}\), czyli:
\(\displaystyle{ \textrm{lin} \left\{ 2x ^{2} - 3x, -3x, 2x ^{2} - 4x\right\}}\)
Wystarczy więc wybrać maksymalny podzbiór liniowo niezależny - skądinąd wiadomo, że będzie on miał dwa elementy, bo wymiar obrazu to \(\displaystyle{ 3-1=2}\).

Q.