Witam, nie wiem jak zabrać się do podanych zadań, byłbym wdzięczny za pokazanie mi na podstawie jakiegoś przykładu metodykę rozwiązywania takich zadań oraz wskazówki do zrobienia tego. I ewentualnie jakieś odnośniki, gdzie móglbym znaleźć takie zadania rozwiązane.
1 zadanie.
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową \(\displaystyle{ K^n}\) nad \(\displaystyle{ K}\) oraz niech \(\displaystyle{ W_{1} i W_{2}}\) będą jej podprzestrzeniami. Zdefiniujmy zbiór \(\displaystyle{ W_{1} + W_{2} = { w_{1} + w_{2} | w_{1} \in W_{1} oraz w_{2} \in W_{2} }}\). Udowodnić, że:
a) Zbiór \(\displaystyle{ W_{1} + W_{2}}\) jest podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) (to wydaje mi się, że potrafię zrobić)
b) Jeśli \(\displaystyle{ W_{1} \subseteq W_{2}}\) to \(\displaystyle{ \dim W_{1} \le dim W_{2}}\), przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ W_{1} = W_{2}}\)
c) jeśli \(\displaystyle{ dim(W_{1} + W_{2}) = 1 + \(\displaystyle{ \dim(W_{1} \cap W_{2})}\) , to suma \(\displaystyle{ W_{1} + W_{2}}\) jest równa jednej z tych podprzestrzeni a przecięcie \(\displaystyle{ W_{1} \cap W_{2}}\) - drugiej.
d) jeśli \(\displaystyle{ \dim W_{1} + \dim W_{2} > \dim V = n}\), to \(\displaystyle{ W_{1} \cap W_{2} \neq {0}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ U, W, V}\) będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ K^n}\) nad \(\displaystyle{ K}\).
a) Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ U \cap (V+W) = (U \cap V) + (U \cap W)}\)?
b) Udowodnić, że powyższa równość jest spełniona jeśli \(\displaystyle{ V \subseteq U}\)
Bardzo dziękuję za jakiekolwiek wskazówki. Pozdrawiam.}\)