Czy układ jest liniowo niezależny

[knx_231]

Mam sprawdzić, czy podane układy są liniowo niezależne w \(\displaystyle{ \RR\left[ x\right] _{3}}\) nad \(\displaystyle{ \RR}\):
\(\displaystyle{ \left\{ x+3 \ ; \ (x-3) ^{3} \ ; \ \frac{4}{5} \ ; \ 3x ^{2} \ ; \ x ^{3} -4 \right\} \\
\left\{ x+1 \ ; \ x ^{3} + 2x \ ; \ x ^{2} - 5x + 2 \ ; \ 7x ^{3} + 2x \right\}}\)

Wiem, że układ \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, ... , v_{k} \in \RR ^{2}}\) jest liniowo niezależny jeśli:
\(\displaystyle{ \forall a _{1} , a_{2}, ... , a_{k} \ \ a_{1} * v_{1} + a_{2} * v_{2} + ... + a_{k} * v_{k} = 0 \Rightarrow a_{1} = a_{2} = ... = a_{k} = 0}\)

Kombinuję w ten sposób z pierwszym:
\(\displaystyle{ a_{1} * (x+3) + a_{2} * (x-3)^{3} + a_{3} * \frac{4}{5} + a_{4} * 3x^{2} + a_{5} * (x^{3} - 4) = 0}\)

No i na pierwszy rzut oka wydaje się, że jest liniowo niezależny, bo nie da się znaleźć takich \(\displaystyle{ a_{1} , a_{2}, ... , a_{5}}\) które byłyby nie wszystkie zerowe i spełniały powyższe równanie. Czy tak trzeba to robić? A jeśli tak, to jak to udowodnić?

[jutrvy]

Rozpisz ten wielomian i przyrównaj do wielomianu zerowego.

[knx_231]

Po rozpisaniu i przyrównaniu:
\(\displaystyle{ (a_{2}+a_{5})x^{3} + (-9a_{2}+3a_{4})x^{2} + (a_{1}+27a_{2})x + 3a_{1} - 27a_{2} + \frac{4}{5}a_{3} - 4a_{5} = 0}\)

Edit: Teraz w sumie można przyrównać współczynniki:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_{2}+a_{5} = 0 \\
-9a_{2}+3a_{4} = 0 \\
a_{1}+27a_{2} = 0 \\
3a_{1}-27a_{2}+\frac{4}{5}a_{3} - 4a_{5} = 0
\end{cases}}\)

Tylko teraz jak dla tak dużego układu sprawdzić, czy istnieją rozwiązania inne niż same 0? Czy można tak po prostu stwierdzić, że jest za mało równań w układzie dla innych rozwiązań? (bo są 4 równania, a zmiennych 5)

[jutrvy]

wyznacz z pierwszego \(\displaystyle{ a_2}\) z drugiego \(\displaystyle{ a_4}\) z trzeciego \(\displaystyle{ a_1}\) i wstaw do czwartego. Co C wyjdzie?

[knx_231]

Faktycznie, jeśli podstawić w ten sposób to wyjdą rozwiązania, np.:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a_{1} = \frac{27}{104} \\
a_{2} = -\frac{1}{104} \\
a_{3} = -\frac{5}{4} \\
a_{4} = -\frac{3}{104} \\
a_{5} = \frac{1}{104}
\end{cases}}\)


Czyli ten układ nie jest liniowo niezależny

[yorgin]

Układ pięciu wektorów rozpinający czterowymiarową przestrzeń wektorową nie może być liniowo niezależny.