Sprawdz czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V

[Martinov]

Witam, szybkie pytanie.
Zadanie jak w temacie: Sprawdz czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad R.

\(\displaystyle{ V = C \\
W = \{w \in R[x] : w(1) \neq w(3)\}}\)

Moje rozwiązanie wygląda tak:
\(\displaystyle{ w1,w2 \in W \\
w1(1) \neq w1(3) \wedge w2(1) \neq w2(3) \\
(w1+w2)(1) = w1(1) + w2(1) \\
(w1+w2)(3) = w1(3) + w2(3)}\)

Kiedy np. \(\displaystyle{ w1(1) = w2(3)}\) oraz \(\displaystyle{ w1(3) = w2(1)}\) to warunek nie jest spełniony, więc W nie jest podprzestrzenią V. Dobrze rozumuje?

[rafalpw]

Dobrze rozumujesz.

[Martinov]

Czyli takie uzasadnienie, jak napisałem wystarczy tak? Nie musze podawać konkretnych przykładów?

[rafalpw]

Trzeba podać konkretny przykład.

[Martinov]

W tym przypadku mogą to być dowolne 2 wielomiany, na przykład 2 stopnia?

[rafalpw]

Dowolne nie mogą być. Muszą być z tej przestrzeni i takie, że ich suma w tej przestrzeni nie jest. Mogą być dowolnego stopnia, np. pierwszego.

[Martinov]

Pomyślałem, popisałem i wyszło mi, że:
\(\displaystyle{ w1 = x + 2 \\
w2 = -x + 6}\)
Wartości się zgadzają, ale suma tych wielomianów to \(\displaystyle{ 8}\). Warunki są spełnione?

[rafalpw]

Tak. To jest dobry kontrprzykład.

[Martinov]

Super, dzięki bardzo