Bazy ortogonalne

[rafaluk]

W przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) ze standardowym iloczynem skalarnym dana jest
podprzestrzeń:

\(\displaystyle{ U=\{\vec{x}\in \mathbb{R}^n:x_1=x_2=...=x_n\}}\).

Wyznacz bazy ortogonalne podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ U^{\perp}}\) i określ ich wymiary.



Wiem, że temat baz ortogonalnych pojawiał się już wielokrotnie, ale przeszukiwałem forum i nic mi nie pomogło.

Nie wiem, co tak naprawdę trzeba tu zrobić. Mam przeprowadzić ortogonalizację Grama-Schmidta? Co zrobić z tą podprzestrzenią \(\displaystyle{ U^{\perp}}\)?

//edit:

Wydaję mi się, że ortogonalizacja G-S byłaby tu bez sensu, ale jeśli ją by zastosować, to:

\(\displaystyle{ y_1=x_1\\ y_2=x_2-\frac{\left\langle x_2,y_1\right\rangle }{\left\langle y_1,y_1\right\rangle }y_1=x_2-\frac{\left| \left| x_1\right| \right| }{\left| \left| x_1\right| \right| }y_1=x_2-x_2=0\\ y_3=-x_1\\ y_4=-2x_1\\ ...\\ y_n=(2-n)x_1}\)

Więc przestrzeń byłaby taka: \(\displaystyle{ U'=\{ x_1,0,-x_1,-2x_1,...,(2-n)x_1\}}\). Wymiar \(\displaystyle{ n}\). Dobrze? Jeśli tak, to co dalej? Jeśli nie, to jak być powinno?

[Kartezjusz]

Zapisz Twoją przestrzeń w postaci powłoki liniowej

[rafaluk]

Chodzi o to?

\(\displaystyle{ U'=span(x_1,0,-x_1,...,(2-n)x_1)}\)

Ale chwila... w bazie muszą być tylko liniowo niezależne wektory. A tutaj są same liniowo zależne wektory. Coś mi się nie zgadza...

[Kartezjusz]

Dokładnie. Powiedz coś o przestrzeni wyjściowej. Jaki ma wymiar, jak jest generowana ( przez jakie wektory ). Wywnioskuj jaki wymiar ma \(\displaystyle{ U'}\) Ortogonalizacja ma sens, jak mamy daną bazę. Polecam pójść z tym zadaniem na logikę.

[rafaluk]

Skoro wektory są takie same, to baza ma wymiar 1:

\(\displaystyle{ U'=span\left( \left[ 1,1,1,...,1\right] ^T\right)}\)

Hm?