Witam, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.
Wyznacz rzędy następujących macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:
a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1-p&2&1&p\\1&2-p&1&0\\1&2&1-p&p\end{array}\right]}\)
b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}p-1&p-1&1&1\\1&p^2-1&1&p-1\\1&p-1&p-1&1\end{array}\right]}\)
Byłbym bardzo wdzięczny za jakieś wskazówki.
Macierz z parametrem
- sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Macierz z parametrem
b)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}p-1&p-1&1&1\\1&p^2-1&1&p-1\\1&p-1&p-1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \sim}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&p-1&p-1&1\\1&p^2-1&1&p-1\\p-1&p-1&1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \sim}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&p-1&p-1&1\\0&p^2-p&2-p&p-2\\0&(p-1)(2-p)&1 - (p-1)^2&2-p\end{array}\right]}\)
wyznacznik podmacierzy ostatniej macierzy skłądającej się z pierwszych trzech wierszy i kolumn wynosi: \(\displaystyle{ p(p-1)(1 - (p-1)^2) - (2-p)(p-1)(2-p) = (p-1)(2-p)(p-1)(p+2)}\)
Trzeba osobno zbadać przypadki \(\displaystyle{ p=1, p=2, p=-2}\)
np. jeśli \(\displaystyle{ p = 1}\) to
\(\displaystyle{ \sim}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
Widać że w tym przypadku rząd będzie równy \(\displaystyle{ 3}\).
oraz zbadać za jednym zamachem pozostałe wartości \(\displaystyle{ p}\).
Przy założeniu że \(\displaystyle{ p \neq 2}\) można podzielić drugi i trzeci wiersz przez \(\displaystyle{ p - 2}\).
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}p-1&p-1&1&1\\1&p^2-1&1&p-1\\1&p-1&p-1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \sim}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&p-1&p-1&1\\1&p^2-1&1&p-1\\p-1&p-1&1&1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \sim}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&p-1&p-1&1\\0&p^2-p&2-p&p-2\\0&(p-1)(2-p)&1 - (p-1)^2&2-p\end{array}\right]}\)
wyznacznik podmacierzy ostatniej macierzy skłądającej się z pierwszych trzech wierszy i kolumn wynosi: \(\displaystyle{ p(p-1)(1 - (p-1)^2) - (2-p)(p-1)(2-p) = (p-1)(2-p)(p-1)(p+2)}\)
Trzeba osobno zbadać przypadki \(\displaystyle{ p=1, p=2, p=-2}\)
np. jeśli \(\displaystyle{ p = 1}\) to
\(\displaystyle{ \sim}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&-1\\0&0&1&1\end{array}\right]}\)
Widać że w tym przypadku rząd będzie równy \(\displaystyle{ 3}\).
oraz zbadać za jednym zamachem pozostałe wartości \(\displaystyle{ p}\).
Przy założeniu że \(\displaystyle{ p \neq 2}\) można podzielić drugi i trzeci wiersz przez \(\displaystyle{ p - 2}\).