Sprawdzanie niezależności liniowej wektorów.

[krisszschtoff]

Podsunie ktoś pomysł jak można rozwiązać te zadanie?

Niech \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) będą liniowo niezależnymi wektorami przestrzeni \(\displaystyle{ V}\). Sprawdź, że wektory:

\(\displaystyle{ v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} +v_{3}}\),

są również liniowo niezależne.

[szw1710]

Zapisz definicję liniowej niezależności tych wektorów. Otrzymasz zwykły układ równań liniowych na współczynniki.

[krisszschtoff]

Przyjąłem, że:
\(\displaystyle{ v_1=[x_1,x_2,x_3]}\)
\(\displaystyle{ v_2=[y_1,y_2,y_3]}\)
\(\displaystyle{ v_3=[z_1,z_2,z_3]}\)

więc,
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right| \neq 0}\)

a to oznacza, że:

\(\displaystyle{ -x_3 y_2 z_1+x_2 y_3 z_1+x_3 y_1 z_2-x_1 y_3 z_2-x_2 y_1 z_3+x_1 y_2 z_3 \neq 0}\)

następnie:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_1&x_1+y_1&x_1+y_1+z_1\\x_2&x_2+y_2&x_2+y_2+z_2\\x_3&x_3+y_3&x_3+y_3+z_3\end{array}\right| \neq 0}\)

Po pomęczeniu się wyszło mi, że
\(\displaystyle{ -x_3 y_2 z_1+x_2 y_3 z_1+x_3 y_1 z_2-x_1 y_3 z_2-x_2 y_1 z_3+x_1 y_2 z_3 \neq 0}\)

więc,

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}x_1&x_1+y_1&x_1+y_1+z_1\\x_2&x_2+y_2&x_2+y_2+z_2\\x_3&x_3+y_3&x_3+y_3+z_3\end{array}\right| \neq 0}\)

tak więc układ:
\(\displaystyle{ v_1, v_1 + v_2, v_1 + v_2 +v_3}\),
Jest liniowo niezależny, tak?
Czy tak powinienem to obliczyć?
Pozdrawiam,
krisszschtoff

[szw1710]

Zupełnie nie o to chodzi. To nie są wektory w \(\displaystyle{ \RR^3}\), lecz w dowolnej przestrzeni liniowej nad dowolnym ciałem.

Przypomnij definicję liniowej niezależności układu wektorów \(\displaystyle{ u_1,\dots,u_n}\).

[krisszschtoff]

Chyba nasz wykładowca trochę zawalił, bo nigdzie wśród jego wykładów nie mogę znaleźć tej definicji, ale czy chodzi Ci może o to?

Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) nazywa się liniowo zależnym, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2, ... , v_n}\) ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) oraz skalary \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\), nie wszystkie zerowe, takie że

\(\displaystyle{ a_1 v_1 + a_2 v_2 + ... + a_n v_n = 0}\)

Z tego wynikałoby coś takiego?
\(\displaystyle{ a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 \neq 0}\)
i
\(\displaystyle{ a_1 v_1 + a_2(v_1 + v_2) + a_3 (v_1+v_2+v_3) \neq 0}\)

[szw1710]

Definicja dobra. Teraz zapisz jej zaprzeczenie, czyli definicję liniowej niezależności. To co piszesz poniżej - dzwoniło, ale nie wiadomo, w którym kościele.

[krisszschtoff]

Znalazłem coś takiego

Wektory \(\displaystyle{ \underline {v_1}, \underline{v_2}, ....., \underline{v_n}}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego układu \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) liczb rzeczywistych, jeżeli:

\(\displaystyle{ a_1 v_1 + a_2 v_2 + ....a_n v_n = \underline 0}\)

to \(\displaystyle{ a_1 = a_2 = ...= a_k = 0}\).

Z tego wynika, że wektory są niezależne gdy wszystkie skalary są zerowe?

Czyli:
\(\displaystyle{ 0 v_1 + 0 v_2 + 0 v_3 = \underline 0}\)
i
\(\displaystyle{ 0 v_1 + 0(v_1 + v_2) + 0(v_1+v_2+v_3) = \underline 0}\)


Mam również pytanie co do tego zadania:
Znajdź bazę odpowiedniej przestrzeni liniowej, w której wektor \(\displaystyle{ v = [2, -1, 3] \in{R3}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [1, 0, 1]}\).

\(\displaystyle{ [2, -1, 3]=\alpha+0 \beta +\gamma}\).
więc jedną z takich baz będzie baza złożona z wektorów:
\(\displaystyle{ [1,-2,6][1,1,1][1,1,-3]}\), tak?
Tutaj się trochę dziwie, bo wydaje mi się, że takich baz mogłoby być od groma, ale może się mylę..
Czy to zadanie może zostać tak rozwiązane?



Przepraszam, że tak kręcę, ale najprościej mówiąc mało z tego rozumiem.

[szw1710]

Definicja poprawna, zrozumienia brak. Załóż \(\displaystyle{ \alpha v_1+\beta(v_1+v_2)+\gamma(v_1+v_2+v_3)=0}\). Masz wywnioskować stąd, że \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\). Pogrupuj skalary wektorami \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) i skorzystaj z ich liniowej niezależności. Stąd układ równań, który wzmiankowałem.

[krisszschtoff]

Wyskrobałem coś takiego..

\(\displaystyle{ \alpha v_1+\beta(v_1+v_2)+\gamma(v_1+v_2+v_3)=\underline 0 \\
\alpha v_1+\beta v_1+ \beta v_2+\gamma v_1 + \gamma v_2+\gamma v_3=
(\alpha+\beta+\gamma)v_1+(\beta+\gamma)v_2+\gamma v_3=\underline 0}\)

\(\displaystyle{ \alpha+\beta+\gamma=0 \\
\beta+\gamma=0 \\
\gamma =0}\)
Tak więc mamy \(\displaystyle{ \alpha=\beta=\gamma=0}\)
Więc wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{1} + v_{2}, v_{1} + v_{2} +v_{3}}\) są liniowo niezależne, tak?

[szw1710]

Właśnie. Teraz jeszcze postaraj się zrozumieć dlaczego jest to poprawne rozumowanie. Co jest założeniem, gdzie się korzysta z liniowej niezależności wektorów, i to jakich?