Czy przestrzeń liniowa ?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Drelson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: Drelson »

Witam, czy ktoś by mógł wyjaśnić te zadanie jak się je wykonuje i o co chodzi na podstawie tych dwóch podpunktów na pewno w jednym z nich będzie "tak", a w drugim "nie" , ale dlaczego?

Rozstrzygnąć który z podanych zbiorów jest przestrzenią liniową ze standardowymi działaniami:

A)Wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0,0), które końce leżą na danej prostej.

B)Wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0,0), które końce nie leżą na danej prostej.
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: M Ciesielski »

Musisz po prostu sprawdzić czy jak dodasz takie dwa wektory, lub taki wektor pomnożysz przez liczbę to dalej będzie wektor takiej postaci. Można sprawdzić w głowie, że to będą przestrzenie liniowe.
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: musialmi »

a) Czy jeśli dodasz dwa wektory, które leżą na danej prostej, to ich suma też będzie leżała na tej prostej? Czy jeśli pomnożysz wektor, który leży na danej prostej przez liczbę, to czy nowy wektor też będzie leżał na tej prostej?

b) a) Czy jeśli dodasz dwa wektory, które nie leżą na danej prostej, to ich suma też nie będzie leżała na tej prostej? Czy jeśli pomnożysz wektor, który nie leży na danej prostej przez liczbę, to czy nowy wektor też nie będzie leżał na tej prostej?

M Ciesielski, z dodawania dwóch wektorów poza daną prostą nie można otrzymać wektora na prostej?
Drelson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: Drelson »

Może głupie pytanie ale chyba mi wyjaśni już wszystko. "leży" czyli albo koniec wektora znajduje się na danej prostej albo ją po prostu przecina?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: musialmi »

Leży, czyli cała jego długość pokrywa się z przebiegiem prostej. Każdy punkt wektora należy też do tej prostej. Wektor jest podzbiorem tej prostej.
Drelson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: Drelson »

Przepraszam, ale w zadaniu mam "Wektory płaszczyzny o początku w punkcie (0,0), które końce (nie) leżą na danej prostej.", a Pan napisał "..wektory, które leżą na danej prostej" to nie jest przypadkiem zupełnie inne zadanie?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: musialmi »

Jest inne, masz rację. Dodałem sobie w głowie założenie, że prosta z zadania przechodzi przez początek układu współrzędnych i wprowadziłem zamęt. Przepraszam.
Drelson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: Drelson »

to teraz jak z tym "leżeniem" wektorów będzie czy wystarczy tylko to że wektor się przetnie z prostą?
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: musialmi »

Jeśli punkt (koniec wektora) ma leżeć na prostej, to przecinanie nie wystarczy. Musi to być takie przecinanie, że koniec wektora ma leżeć na prostej. Chyba nie rozumiem pytania ;p Mógłbyś zadać je od początku, jeśli jeszcze coś jest niejasne?
Drelson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 7 paź 2014, o 18:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 16 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: Drelson »

czyli w A będzie odp Nie, a w B odpowiedź Tak
Bo np w podpunkcie A wystarczy, że pomnożę wektory przez -1 i już nie będą na prostej
Awatar użytkownika
musialmi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3466
Rejestracja: 3 sty 2014, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PWr ocław
Podziękował: 382 razy
Pomógł: 434 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: musialmi »

Wg mnie oba to nie. Uzasadnienie do pierwszego jest wg mnie dobre. Drugie uzasadniłbym tak, że mamy sobie np. prostą \(\displaystyle{ y=2}\) i wektor pionowy o długości 1. Jego koniec nie leży na prostej (bo jego koniec ma współrzędne \(\displaystyle{ (0,1)}\)). Jeśli przemnożymy ten wektor przez 2, to jego koniec przesuwa się na punkt \(\displaystyle{ (0,2)}\), który leży na prostej, więc nie należy do zbioru tych wektorów, których koniec nie leży na tej prostej.
Awatar użytkownika
M Ciesielski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2524
Rejestracja: 21 gru 2005, o 15:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 302 razy

Czy przestrzeń liniowa ?

Post autor: M Ciesielski »

musialmi, jo, masz rację - źle zinterpretowałem treść. Co do pytania, to oczywiście, że możemy - weźmy prostą pokrywającą się z osią odciętych i wektory \(\displaystyle{ \left[0,1\right]}\) i \(\displaystyle{ \left[0,-1\right]}\).
ODPOWIEDZ