Niech \(\displaystyle{ U,A,B}\) będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A \subset U}\) to zachodzi równość:
\(\displaystyle{ U \cap \left(A+B\right)=\left(U \cap A\right)+\left(U \cap B\right)}\)
bardzo proszę o pomoc
podprzestrzenie liniowe dowod rownania
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
podprzestrzenie liniowe dowod rownania
Ostatnio zmieniony 4 gru 2014, o 16:59 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach[latex] [/latex]
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
podprzestrzenie liniowe dowod rownania
jeśli \(\displaystyle{ z \in U \cap \left(A+B\right)}\) to \(\displaystyle{ z = u = a + b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a \in A, b \in B, u \in U}\)
to \(\displaystyle{ u - a =b}\), czyli \(\displaystyle{ b \in U (a \in U, u - a \in U )}\)
zatem \(\displaystyle{ z = a + b \in \left(U \cap A\right)+\left(U \cap B\right)}\)
z drugiej strony jeśli \(\displaystyle{ z \in \left(U \cap A\right)+\left(U \cap B\right)}\)
\(\displaystyle{ z = a +b}\), gdzie w szczególności \(\displaystyle{ a \in A}\) oraz \(\displaystyle{ b \in B}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \in U}\) zatem
\(\displaystyle{ z \in U \cap \left(A+B\right)}\)
to \(\displaystyle{ u - a =b}\), czyli \(\displaystyle{ b \in U (a \in U, u - a \in U )}\)
zatem \(\displaystyle{ z = a + b \in \left(U \cap A\right)+\left(U \cap B\right)}\)
z drugiej strony jeśli \(\displaystyle{ z \in \left(U \cap A\right)+\left(U \cap B\right)}\)
\(\displaystyle{ z = a +b}\), gdzie w szczególności \(\displaystyle{ a \in A}\) oraz \(\displaystyle{ b \in B}\) oraz \(\displaystyle{ a,b \in U}\) zatem
\(\displaystyle{ z \in U \cap \left(A+B\right)}\)