Liniowa niezależność i baza

[PiotrWP]

Sprawdzić czy układ \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest liniowo niezależny.Jeśli tak, wyznaczyć bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\):
a)\(\displaystyle{ V=\mathbb{C}}\) , \(\displaystyle{ K=\mathbb{C}}\) , \(\displaystyle{ \mathcal{A}=(1-2i,3+i)}\)

No i z jednej strony biorę tak:
Niech \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{C}}\) będzie dowolnym elementem ciała \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).
\(\displaystyle{ \alpha(1-2i,3+i)=(0,0)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha(1-2i)=0\\ \alpha(3+i)=0\end{cases}}\)
Czyli musi być \(\displaystyle{ \alpha=0}\) czyli wychodziłoby że są liniowo niezależne.

Natomiast z drugiej strony mogę wziąć np:\(\displaystyle{ \alpha= \frac{3+i}{1-2i}\in\mathbb{C}}\)
I wtedy :\(\displaystyle{ \alpha \cdot (1-2i)=3+i}\)

I wychodzi że są liniowo zależne.
Gdzie jest błąd i dlaczego.

[chris_f]

Aby ten układ był liniowo niezależny, to musimy sprawdzić czy
\(\displaystyle{ \alpha(1-2i)+\beta(3+i)\Rightarrow \alpha=\beta=0}\)
co daje układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha+3\beta=0\\ -2\alpha+\beta=0\end{cases}}\)
i łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ \alpha=\beta=0}\) czyli jest liniowo niezależny.

[PiotrWP]

No to teraz po kolei:
1.Dlaczego \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) ? Przecież tam mamy chyba tylko jeden wektor o dwóch współrzędnych
2.W sumie odnosi się to też do punktu wyżej ,ale znalazłem przecież taki element ciała że daje to w efekcie liniową zależność.

[chris_f]

Nie. Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ 1-2i}\) oraz \(\displaystyle{ 3+i}\).
Zresztą nawet w treści zadania mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \CC}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\), a zatem wektorami są tu liczby zespolone, a skalarami liczby rzeczywiste.
Dodatkowo nawet samo słowo "układ" oznacza przynajmniej dwa wektory.

[PiotrWP]

Ale np: \(\displaystyle{ (1,2)}\) to nie byłby chyba dwa wektory ,tylko jeden.

Co nie zmienia ,tego że i tak chyba ten drugi mój sposób daje liniową zależność I nie wiem dlaczego

[Arytmetyk]

Tak jak podałeś zbiór A to masz tam dwa wektory, pewnie mylisz się dlatego, że jest to nie porządnie zapisane.

\(\displaystyle{ \mathcal{A}=((1-2i),(3+i))}\)
teraz powinno być jaśniej, zatem możesz skorzystać z interpretacji liczb zespolonych
i potem sprawdzasz liniową niezależność wektorów z definicji tak jak to zrobił chris_f

[chris_f]

Źle zrozumiałeś zapis \(\displaystyle{ \mathcal{A}=(1-2i,3+i)}\). To nie jest wektor tylko układ dwóch wektorów: pierwszego \(\displaystyle{ 1-2i\in\CC}\) i drugiego \(\displaystyle{ 3+i\in\CC}\).

[PiotrWP]

No ok ,ma to sens bo liczbę zespoloną można potraktować jako wektor o dwóch współrzędnych (na płaszczyźnie).Ale nadal mogę pokazać taki element różny od zera z ciała że jeden wektor jest wielokrotnością drugiego.I to znaczy że są liniowo zależne.Tylko to właśnie stoi w opozycji z tym policzonym z definicji.-- 4 gru 2014, o 16:09 --A właściwie dwa elementy

[chris_f]

No to wskaż liczbę rzeczywistą (bo w końcu mamy przestrzeń nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\)), taką, że

\(\displaystyle{ a(1-2i)=3+i}\)

[PiotrWP]

Ale fail zaliczyłem.Oczywiście że masz rację.Pomyliłem przykłady bo miałem je napisane jeden pod drugim.Miało być :"Wyznacz bazę przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{K}}\)".Zresztą ten zapis nie miałby sensu z mojego pierwszego postu.

-- 4 gru 2014, o 16:35 --

A problem pozostaje ,tyle tylko że \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{C}}\)

[chris_f]

To w takim razie problemu nie ma.
Przestrzeń \(\displaystyle{ \CC}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \CC}\) jest jednowymiarowa, a zatem dwa wektory muszą być liniowo zależne i w takim przypadku Twój przykład jest dobry.
Można zawsze znaleźć liczbę zespoloną \(\displaystyle{ \alpha}\), taką, że \(\displaystyle{ \alpha(1-2i)=3+i}\) - tak jak zrobiłeś, przez jej wyliczenie - czyli te dwa wektory są proporcjonalne nad ciałem liczb zespolonych.
Z definicji (gdy mamy dwa skalary) też idzie bo dostaniemy układ (ze względu na \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\)) nieoznaczony mający nieskończenie wiele niezerowych rozwiązań, co oznacza, że układ jest liniowo zależny.
Zmiana ciała nad którym rozpięta jest przestrzeń może zmienić wymiar, a co za tym idzie zależność/niezależność układu wektorów.

[PiotrWP]

Z definicji (gdy mamy dwa skalary) też idzie bo dostaniemy układ (ze względu na \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\)) nieoznaczony mający nieskończenie wiele niezerowych rozwiązań, co oznacza, że układ jest liniowo zależny.

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha+3\beta=0\\ -2\alpha+\beta=0\end{cases}}\)

Oczywiście zakładając tym razem że \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{C}}\)

No i dostajemy że \(\displaystyle{ \alpha=\beta=0}\)
Czyli powiedzmy że mamy np:\(\displaystyle{ \alpha=a+bi}\) oraz \(\displaystyle{ \beta=c+di}\), \(\displaystyle{ a,b,c,d\in \mathbb{R}}\).No i wynika z tego że \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\), czyli zachodzi tylko w jednym przypadku, ma zachodzić w każdym.Czyli są liniowo zależne.O coś takiego chodziło ?


Poza tym to ja już nie wiem jak działa w sumie ten mój przykład.Bo czy nie powinno być w takim razie że jeśli przyjmę sobie \(\displaystyle{ \alpha= \frac{3+i}{1-2i}\in\mathbb{C}}\) ,to \(\displaystyle{ \frac{3+i}{1-2i}\cdot (1-2i)=\left(\frac{3+i}{1-2i}\cdot 1 ,\frac{3+i}{1-2i}\cdot (-2)\right)}\) ?
Bo to w sumie tak jakby na współrzędnych działam.

[chris_f]

W przypadku, gdy mamy do czynienia z przestrzenią \(\displaystyle{ \CC}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \CC}\) to warunek liniowej niezależności będzie miał postać
\(\displaystyle{ \alpha(1-2i)+\beta(3+i)=}\)
gdzie \(\displaystyle{ \alpha,\beta\in\CC}\).
I tu właśnie zadziała ten przykład, bo z łatwością znajdujemy nieskończenie wiele rozwiązań
\(\displaystyle{ \alpha(1-2i)=-\beta(3+i)}\)
\(\displaystyle{ \alpha=-\frac{3+i}{1-2i)\beta}\)
Za \(\displaystyle{ \beta}\), można podstawić jakąkolwiek liczbę zespoloną, wyliczamy \(\displaystyle{ \alpha}\) i mamy rozwiązanie niezerowe.
A zatem układ jest w tym przypadku zależny.