Uzupełnić układ wektorów do bazy

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ w_{1}(x)=x^{2}+1, w_{2}(x)=x-2}\)

\(\displaystyle{ R^{2}[x](R)}\)

Jak uzupełnić układ wektorów \(\displaystyle{ (w_{1}(x), w_{2}(x))}\) do bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^{2}[x](R)}\)?

[yorgin]

Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2[x]}\) jest w sposób naturalny izomorficzna z \(\displaystyle{ \RR^3}\). Izomorfizm ten dany jest wzorem \(\displaystyle{ f(ax^2+bx+c)=(a,b,c)}\).

Wtedy \(\displaystyle{ f(w_1)=(1,0,-1)=v_1}\) oraz \(\displaystyle{ f(w_2)=(0,1,-2)=v_2}\).

Jeżeli teraz uzupełnisz wektory \(\displaystyle{ v_1, v_2}\) jednym wektorem do bazy \(\displaystyle{ \RR^3}\), to uzupełnisz układ wektorów \(\displaystyle{ w_1, w_2}\) do bazy wielomianów. A to pierwsze jest intuicyjne.

[Poszukujaca]

Czyli może być to dowolny wektor (wielomian) tak, aby te trzy wektory były liniowo niezalezne? W takim razie jest nieskończenie wiele takich wektorów - odpowiedź nie jest jednoznaczna.

[Arytmetyk]

Masz rację, odpowiedź jest nie jednoznaczna. Wektory mają być liniowo nie zależne i co ważne mają generować całą przestrzeń w tym wypadku \(\displaystyle{ R^3}\)

[Poszukujaca]

To, że generują przestrzeń mamy chyba automatycznie z wymiaru.. \(\displaystyle{ dim R^{3}=3}\). Jesli wymiar przestrzeni równa się liczbie wektorów liniowo niezależnych, to autmatycznie układ tych wektorów generuje tę przetrzeń - jest jej bazą. Tak?

[Arytmetyk]

Możesz wziąść dowolny wektor z \(\displaystyle{ R^3}\) \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) i pokazać, że można go przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych, wtedy widać że dany układ generuje daną przestrzeń.

[norwimaj]

To, że generują przestrzeń mamy chyba automatycznie z wymiaru.. \(\displaystyle{ dim R^{3}=3}\).

Tak.

Jesli wymiar przestrzeni równa się liczbie wektorów liniowo niezależnych, to autmatycznie układ tych wektorów generuje tę przetrzeń - jest jej bazą. Tak?

W przypadku skończenie wymiarowym tak, ogólnie nie.