Układ równań.

[nowik1991]

Witam.

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+3 \cdot y=5+x \cdot 2\\4 \cdot y=2 \cdot x-y+6\end{cases}}\)

Ten układ należy rozwiązać w pierścieniu \(\displaystyle{ \ZZ_{7}}\). Zacząłem od grupowania i sprowadziłem ten układ do:


\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+3y=5\\5y-2x=6 \end{cases}}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -x+3y=5 \cdot (-1)\\5y-2x=6 \end{cases}}\)
Kolejno:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-3y=-5 \\5y-2x=6 | + 2 \cdot w_{1} \end{cases}}\)
I otrxymujemy:
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ -2x+2x+5y-6y=6+-10}\)
\(\displaystyle{ -y=-4}\)
\(\displaystyle{ y=4}\)

Teraz podstawiłem:
\(\displaystyle{ -x+3(4)=5}\)
\(\displaystyle{ -x=-7}\)
\(\displaystyle{ x=0}\)

Zatem wydaje mi się, że \(\displaystyle{ x=0}\) natomiast \(\displaystyle{ y=4}\)??? Jeżeli jest ok to: \(\displaystyle{ x,y \in
\ZZ_{7}}\) Nie jestem pewien rozwiązania dlatego proszę po pomoc z góry dziękuję.

Sprawdzenie:
\(\displaystyle{ w_{1}= 3 \cdot 4(\mod 7)=5}\)
\(\displaystyle{ w_{2}= 5 \cdot 4(\mod 7)=6}\)

[Medea 2]

Z pierwszego równania \(\displaystyle{ x = 3y - 5}\), drugie przekształcam do \(\displaystyle{ 5y - 6 = 2x}\). Teraz podstawiam pierwsze równanie do drugiego i dostaję \(\displaystyle{ 5y - 6 = 6y - 10}\), więc \(\displaystyle{ 4 = y}\). Wtedy \(\displaystyle{ x = 3 \cdot 4 - 5 = 7}\).