Czy są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni liniowych.

[insajdzik]

Sprawdzić, czy dane zbiory Wi są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych V :
a) \(\displaystyle{ V=\RR_{3} [x]}\) (przestrzeń wielomianów stopnia ≤3)
\(\displaystyle{ W_1 = \left\{ (xq )\in \RR_{3} [x]: q(0) = 1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ W_2 = \left\{ (xq )\in \RR_{3} [x]: q(1) = 0 \right\}}\)
\(\displaystyle{ W_3 = \left\{ (xq )\in \RR_{3} [x]:\text{ stopien wielomianu jest parzysty} \right\}}\)

Chciałbym prosić o wytłumaczenie tego zadania

[AdamL]

A definicję znasz? (i rozumiesz)

[jutrvy]

Musisz pokazać, że zbiór jest zamknięty na dodawanie i na branie elementu przeciwnego, i że dla każdego elementu element przeciwny jest wyznaczony w sposób jednoznaczny i że jeszcze istnieje w tym zbiorze wektor zerowy, czyli taki, że jak coś do niego dodamy, to nic nie zmienimy.

Dla przykładu zrobię 1, a Ty zrobisz resztę, deal?

1. \(\displaystyle{ \forall Q(x), P(x)\in\mathbb{R}_3[x] \ Q(x) + P(x) = P(x) + Q(x)\in\mathbb{R}_3[x]}\) - czyli suma wielomianów jest wielomianem (a nawet dodawanie naszych wielomianów jest przemienne).

2. \(\displaystyle{ \forall P(x)\in\mathbb{R}_3[x] \ P(x) + 0 = 0 + P(x) = P(x)}\) - istnieje wektor zerowy.

3. \(\displaystyle{ \forall P(x)\in\mathbb{R}_3[x] \ P(x) + (-1)\cdot P(x) = 0}\) - jak od wielomianu odejmiemy wielomian przeciwny, czyli taki, że odpowiednie współczynniki to liczby przeciwne do tych współczynników "oryginalnych", dostaniemy wektor zerowy. Jednoznaczność jest z własności liczb rzeczywistych.

Twoja kolej ziooom

[insajdzik]

na początku dziękuje za pomoc ale to ciągle ciężki dla mnie temat i nie zbyt to rozumiem, próbuje zrobić przykład 2:

udowaniam ze zbior jest zamkniety na dodawanie i jednoczesnie przemiennosc tego dodawania:

\(\displaystyle{ \vee Q(x), P(x) \in R _{3}[x] Q(x) + p(x)= P(x) + Q(x) \in R _{3}[x]}\)

istnieje wektor zerowy

\(\displaystyle{ \vee P(x) \in R _{3}[x] P(x) + 0= 0+P(x)=P(x)}\)

rozumiem też o co chodzi w punkcie 3, lecz nie wiem jak wykorzystać informacje Q(1)=0

[jutrvy]

Hint: czy suma wielomianów, których stopień jest nie większy od trzech i przyjmują wartość \(\displaystyle{ 1}\) w zerze jest zawsze wielomianem, który przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ 0}\) ?...-- 30 lis 2014, o 20:14 --I właśnie udowodniłeś coś, co nie jest prawdą, bo zbiór w przykładzie 2 nie jest zamknięty na dodawanie

[insajdzik]

głupotę napisałem :/ teraz widzę, że tylko w niektórych przypadkach to jest prawdziwe, czyli ten warunek odpada, więc \(\displaystyle{ W _{2} \not\in V}\)

przykład 3. wielomian mam stopnia parzystego, czyli w tym przypadku 2 stopnia

1. \(\displaystyle{ \vee Q(x), P(x) \in R _{3}[x] Q(x) + p(x)= P(x) + Q(x) \in R _{3}[x]}\)
bo uznając
\(\displaystyle{ P(x)=a x^{2}+bx+c}\)
\(\displaystyle{ Q(x)=dx ^{2} +ex+f}\)

\(\displaystyle{ P(x) + Q(x) = (a+d)x ^{2} + (b+e)x + (c + f) = Q(x) + P(x)}\)

istnieje wektor zerowy

\(\displaystyle{ \vee P(x) \in R _{3}[x] P(x) + 0= 0+P(x)=P(x)}\)

a także spełniony jest warunek o przemienności:
\(\displaystyle{ \vee P(x) \in R _{3}[x] P(x) + (-1) \cdot P(x)= 0}\)

Czy teraz dobrze rozumiem?


Lecz odp wygladają tak: W1 –Nie, W2 –Tak, W3 –Nie, i nie wiem co na to poradzić?

[Medea 2]

W trzecim ten zbiór nie jest zamknięty na dodawanie: weź \(\displaystyle{ x^2 + x}\) i \(\displaystyle{ -x^2 + x}\). Ogólnie jeżeli masz pokazać, że coś nie jest p. liniową, to wystarczy, że pokażesz fałszywość jednego z aksjomatów.

[jutrvy]

Jeszcze małpie sprostowanie... ja w swoim poście pokazałem, że \(\displaystyle{ V}\) jest przestrzenią liniową. Ty musisz jeszcze zrobić przykład 1.

[insajdzik]

w takim razie zupełnie zgłupiałem jak udowodnić w 1. ze zbiory nie sa zamknięte ze względu na dodawanie? skoro dla każdego wielomianu stopnia <=3 wynikiem będzie 1 lub -1 ? w tym momencie nie wiem czy rozumiem dobrze definicje zamkniętości na dodawanie, jeżeli mam np sumę wielomianu stopnia 2 i 3 to muszę otrzymać wyniki z tego samego zbioru (zbiór wielomianów stopnia 2 i 3?).
Przepraszam za takie głupie pytania, ale mam spore problemy z algebrą

[jutrvy]

w takim razie zupełnie zgłupiałem jak udowodnić w 1. ze zbiory nie sa zamknięte ze względu na dodawanie?

Chwila, chwila... Bez paniki. Weź jakiś wielomian z \(\displaystyle{ W_1}\) i dodaj do niego wielomian, który jest niezerową funkcją stałą. Czy suma dalej jest w \(\displaystyle{ W_1}\)?

A jak to będzie w przypadku \(\displaystyle{ W_2}\). Czy ten zbiór jest zamknięty na działanie?

żeby odpowiadać sobie na takie pytanka, dobrze jest sobie trochę poeksperymentować na konkretnych przykładach, co nie?

[insajdzik]

Biorę \(\displaystyle{ W _{1}= x ^{2}+x+1}\)
i dodaje
\(\displaystyle{ y(x)= 1}\)
otrzymuje \(\displaystyle{ W(x)=x ^{2}+x+2}\) co różni się od W1, lecz ciągle jest wielomianem stopnia 2 i nie wiem czemu nie jest zamknięte na działania (myślę, że ciągle nie rozumiem jednak definicji zamknietosci na działania)

[jutrvy]

Podsumuję:

\(\displaystyle{ W_1}\) - nie.
\(\displaystyle{ W_2}\) - tak.
\(\displaystyle{ W_3}\) - nie, bo np \(\displaystyle{ (x^2 + x) + (-x^2) = x}\) - stopień nieparzysty.

-- 1 gru 2014, o 21:50 --

To jak, napiszesz wszystkie trzy uzasadnienia, żeby odfajczyć małpiszona? -- 1 gru 2014, o 21:53 --Definicja zamkniętości na działania:

Jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y\in V}\) zachodzi \(\displaystyle{ x + (-y) \in V}\), to mówimy, że \(\displaystyle{ V}\) jest zamknięte na działanie \(\displaystyle{ +}\). Ok?

Suma dowolnych elementów \(\displaystyle{ V}\) musi być elementem \(\displaystyle{ V}\), przy czym dowolny element to może być element, lub element odwrotny do niego, ok? (przy założeniu, że dla każdego elementu z \(\displaystyle{ V}\) taki element odwrotny istnieje i jest jedyny[/latex])