Suma prosta przestrzeni wielomianów

[wiedzmac]

Cześć,

Mam sprawdzić czy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{12}\left[ X\right] = \left\{ P \in \mathbb{R}_{12} : \deg(P) < 7 \right\} \oplus \left\{ P \in \mathbb{R}_{12} : \deg(P) > 6 \right\}}\)

Zadanie może być podchwytliwe, więc wolę się dopytać. Chodzi tutaj o sumę prostą podprzestrzeni, ale ten drugi zbiór nie jest podprzestrzenią liniową, bo nie ma w nim wielomianu zerowego.
Czyli ten wzór nie jest poprawny.

Albo inaczej \(\displaystyle{ V = V1 \oplus V2}\) wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ V = V_1 + V_2}\) i \(\displaystyle{ V_1 \cap V_2 = \left\{ 0 \right\}}\), a to nie jest prawda, bo przekrój jest pusty.

Czy dobrze rozumuję?

[jutrvy]

To cuś w tych drugich wąsach to na pewno przestrzeń liniowa? Co z wektorem zerowym?

[wiedzmac]

Przeczytałeś w ogóle to co napisałem?

[Kacperdev]

Dla wielomianu zerowego najczęsciej nie definuje się \(\displaystyle{ \deg}\).
Ale brawo za czujność.

[jutrvy]

wiedzmac, swój post zedytowałeś po dodaniu mojego, więc nie miałem okazji przeczytać - wyluzuj...

[wiedzmac]

Po zedytowaniu dopisałem tylko część od słów "albo inaczej", więc o przestrzeni liniowej i wielomianie zerowym pisałem wcześniej.

Ale wracając do pytania : wzór nie jest poprawny?

[jutrvy]

Ok, w takim razie bardzo przepraszam. Zależy, czy mówimy o sumie prostej przestrzeni liniowych. Jeśli nie, to pytanie co oznacza znaczek \(\displaystyle{ \oplus}\).-- 29 lis 2014, o 17:48 --Jeśli ma znaczyć to, co napisałeś, to treść zadania raczej nie ma sensu.

[wiedzmac]

Też myślę, że to nie ma sensu, więc wolałem dopytać.

[Kacperdev]

wiedzmac, powtarzam. Dla wielomianu zerowego \(\displaystyle{ \deg}\) zazwyczaj nie obowiązuje. Autorom zadania za pewno o to chodziło - więc zadanie ma sens.

[wiedzmac]

Nie rozumiem trochę. Możesz mi w takim razie powiedzieć jak wygląda przekrój tych dwóch przestrzeni albo dlaczego te drugie "wąsy" mają być przestrzenią liniową?

[Kacperdev]

Druga przestrzeń to wielomiany stopnia większego od sześć plus wielomian zerowy.
Przekrojem bedzie wielomian zerowy.

[jutrvy]

Te drugie wąsy nie są przestrzenią liniową, bo \(\displaystyle{ (x^7 + x^5) + (-x^7) = x^5}\). Podłączam się pod pytanie. Nie rozumiem sensu zadania - jeśli mówimy o podprzestrzeniach liniowych.

[wiedzmac]

Możliwe, że w zadaniu jest błąd. Podesłałem maila do wykładowcy.

[Kacperdev]

jutrvy, racja. Działanie na przestrzeni nie byłoby zamknięte. W takim razie rzeczywiśćie drugi zbiór nie jest przestrzenią.