Dobre rozumowanie?

[rafaluk]

Jeśli w poniższych przekształceniach jest błąd, to poproszę o wskazanie miejsca, w którym źle przekształcam i podpowiedź, dlaczego jest to źle.

Korzystam ze wzoru: \(\displaystyle{ \left\langle x,\alpha _1 y_1+\alpha _2y_2\right\rangle =\alpha _1\left\langle x,y_1\right\rangle +\alpha _2\left\langle x,y_2\right\rangle}\)

\(\displaystyle{ \left\langle x_1+x_2,y_1+y_2\right\rangle=\left\langle x_1+x_2,y_1\right\rangle +\left\langle x_1+x_2,y_2\right\rangle =\\ \\ =\overline{\left\langle y_1,x_1+x_2\right\rangle }+\overline{\left\langle y_2,x_1+x_2\right\rangle}=\overline{\left\langle y_1,x+1\right\rangle }+\overline{\left\langle y_1,x_2\right\rangle }+\overline{\left\langle y_2,x_1\right\rangle }+\overline{\left\langle y_2,x_2\right\rangle }=\\ \\ =\left\langle x_1,y_1\right\rangle+\left\langle x_1,y_2\right\rangle+\left\langle x_2,y_1\right\rangle+\left\langle x_2,y_2\right\rangle}\)

Oraz to (bardzo podobne):

\(\displaystyle{ \left\langle x+y,x+y\right\rangle =\left\langle x+y,x\right\rangle +\left\langle x+y,x\right\rangle =\left\langle x,x\right\rangle +\left\langle x,y\right\rangle +\left\langle x,x\right\rangle +\left\langle x,y\right\rangle=\\ \\ =2\cdot (\left\langle x,x\right\rangle +\left\langle x,y\right\rangle )}\)

[a4karo]

Niepoprawnie, bo masz na początku \(\displaystyle{ x,y}\) a potem znikąd się biorą \(\displaystyle{ x_1, x_2,\dots}\).

A poza tym, jak chcesz coś udowodnić, to warto na początku napisać co.

A ostatnia równość skąd się wzięła?

[rafaluk]

Oj, zapomniałem o indeksach. Pierwsze już poprawione.

Drugie wzięło się ze wzorów:

\(\displaystyle{ \left\langle \alpha _1x_1+\alpha _2x_2,y \right\rangle =\overline{\alpha _1}\left\langle x_1,y\right\rangle +\overline{\alpha _2}\left\langle x_2,y\right\rangle}\)

oraz

\(\displaystyle{ \left\langle x,\alpha _1 y_1+\alpha _2y_2\right\rangle =\alpha _1\left\langle x,y_1\right\rangle +\alpha _2\left\langle x,y_2\right\rangle}\)

gdzie \(\displaystyle{ \alpha _1=\alpha _2=\overline{\alpha _1}=\overline{\alpha _2}=1}\)

//edit:

Nic nie chcę tu udowadniać. Po prostu przekształcam iloczyny skalarne i wychodzi mi co innego, niż mam w notatkach. Dlatego pytam, czy to na pewno co robię jest dobre.

[a4karo]

W drugim pierwsza "równośc" nie jest prawdą

[rafaluk]

A tak, rzeczywiście, już widzę błąd! Powinno być: \(\displaystyle{ \left\langle x+y,x+y\right\rangle =\left\langle x+y,x\right\rangle +\left\langle x+y,y\right\rangle}\)
Dzięki!

Pierwsze jest ok?

[a4karo]

pierwsze ok, popraw drugie do końca